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    高一数学(必修一)知识点总结

    时间:2020-08-01 18:47:18来源:小小文档网本文已影响

    高一数学必修1各章知识点总结 (拂晓搜集整理) 第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念 1. 集合的含义 2. 集合的中元素的三个特性:
    (1) 元素的确定性如:世界上最高的山 (2) 元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3) 元素的无序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示:{ … } 如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1) 用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2) 集合的表示方法:列举法与描述法。

    u 注意:常用数集及其记法:
    非负整数集(即自然数集) 记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1) 列举法:{a,b,c……} 2) 描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。{xÎR| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3) 语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} 4) Venn图: 4、集合的分类:
    (1) 有限集 含有有限个元素的集合 (2) 无限集 含有无限个元素的集合 (3) 空集 不含任何元素的集合  例:{x|x2=-5} 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意:有两种可能(1)A是B的一部分,;
    (2)A与B是同一集合。

    反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA 2.“相等”关系:A=B (5≥5,且5≤5,则5=5) 实例:设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即:① 任何一个集合是它本身的子集。AÍA ②真子集:如果AÍB,且A¹ B那就说集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA) ③如果 AÍB, BÍC ,那么 AÍC ④ 如果AÍB 同时 BÍA 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。

    u 有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集 三、集合的运算 运算类型 交 集 并 集 补 集 定 义 由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作AB(读作‘A交B’),即AB={x|xA,且xB}. 由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集.记作:AB(读作‘A并B’),即AB ={x|xA,或xB}). 设S是一个集合,A是S的一个子集,由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集) S A 记作,即 CSA= 韦 恩 图 示 S A 性 质 AA=A AΦ=Φ AB=BA ABA ABB AA=A AΦ=A AB=BA ABA ABB (CuA) (CuB) = Cu (AB) (CuA) (CuB) = Cu(AB) A (CuA)=U A (CuA)= Φ. 例题:
    1.下列四组对象,能构成集合的是 ( ) A某班所有高个子的学生 B著名的艺术家 C一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2.集合{a,b,c }的真子集共有 个 3.若集合M={y|y=x2-2x+1,xR},N={x|x≥0},则M与N的关系是 . 4.设集合A=,B=,若AB,则的取值范围是 5.50名学生做的物理、化学两种实验,已知物理实验做得正确得有40人,化学实验做得正确得有31人, 两种实验都做错得有4人,则这两种实验都做对的有 人。

    6. 用描述法表示图中阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合M= . 7.已知集合A={x| x2+2x-8=0}, B={x| x2-5x+6=0}, C={x| x2-mx+m2-19=0}, 若B∩C≠Φ,A∩C=Φ,求m的值   二、函数的有关概念 1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作:
    y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;
    与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域. 注意:
    1.定义域:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

    求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:
    (1)分式的分母不等于零;

    (2)偶次方根的被开方数不小于零;

    (3)对数式的真数必须大于零;

    (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零, (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. u 相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);
    ②定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本21页相关例2) 2.值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法 3. 函数图象知识归纳 (1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象.C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上 . (2) 画法 A、 描点法:
    B、 图象变换法 常用变换方法有三种 1) 平移变换 2) 伸缩变换 3) 对称变换 4.区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间 (2)无穷区间 (3)区间的数轴表示. 5.映射 一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f(对应关系):A(原象)B(象)” 对于映射f:A→B来说,则应满足:
    (1)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;

    (2)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;

    (3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

    6.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

    (2)各部分的自变量的取值情况. (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集. 补充:复合函数 如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。

    二.函数的性质 1.函数的单调性(局部性质) (1)增函数 设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间. 如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2 时,都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间. 注意:函数的单调性是函数的局部性质;

    (2) 图象的特点 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法:
    任取x1,x2∈D,且x1<x2;

    作差f(x1)-f(x2);

    变形(通常是因式分解和配方);

    定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);

    下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性). (B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性 复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律:“同增异减” 注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 8.函数的奇偶性(整体性质) (1)偶函数 一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数. (2).奇函数 一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函数. (3)具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y轴对称;
    奇函数的图象关于原点对称. 利用定义判断函数奇偶性的步骤:
    首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称;

    确定f(-x)与f(x)的关系;

    作出相应结论:若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则f(x)是偶函数;
    若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则f(x)是奇函数. 注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定; (3)利用定理,或借助函数的图象判定 . 9、函数的解析表达式 (1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域. (2)求函数的解析式的主要方法有:
    1) 凑配法 2) 待定系数法 3) 换元法 4) 消参法 10.函数最大(小)值(定义见课本p36页) 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 利用图象求函数的最大(小)值 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:
    如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);

    如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);

    例题:
    1.求下列函数的定义域:
    ⑴ ⑵ 2.设函数的定义域为,则函数的定义域为_ _ 3.若函数的定义域为,则函数的定义域是 4.函数 ,若,则= 5.求下列函数的值域:
    ⑴ ⑵ (3) (4) 6.已知函数,求函数,的解析式 7.已知函数满足,则= 。

    8.设是R上的奇函数,且当时,,则当时= 在R上的解析式为 9.求下列函数的单调区间:
    ⑴ ⑵ ⑶ 10.判断函数的单调性并证明你的结论. 11.设函数判断它的奇偶性并且求证:. 第二章 基本初等函数 一、指数函数 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念:一般地,如果,那么叫做的次方根,其中>1,且∈*. u 负数没有偶次方根;
    0的任何次方根都是0,记作。

    当是奇数时,,当是偶数时, 2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定:
    , u 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质 (1)· ;

    (2) ;

    (3) . (二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念:一般地,函数叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域为R. 注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1. 2、指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1 定义域 R 定义域 R 值域y>0 值域y>0 在R上单调递增 在R上单调递减 非奇非偶函数 非奇非偶函数 函数图象都过定点(0,1) 函数图象都过定点(0,1) 注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出:
    (1)在[a,b]上,值域是或;

    (2)若,则;
    取遍所有正数当且仅当;

    (3)对于指数函数,总有;

    二、对数函数 (一)对数 1.对数的概念:一般地,如果,那么数叫做以为底的对数,记作:(— 底数,— 真数,— 对数式) 说明
    注意底数的限制,且;



    注意对数的书写格式. 两个重要对数:
    常用对数:以10为底的对数;

    自然对数:以无理数为底的对数的对数. u 指数式与对数式的互化 幂值 真数 = N= b 底数 指数 对数 (二)对数的运算性质 如果,且,,,那么:
    ·+;

    -;

    . 注意:换底公式 (,且;
    ,且;
    ). 利用换底公式推导下面的结论 (1);
    (2). (二)对数函数 1、对数函数的概念:函数,且叫做对数函数,其中是自变量,函数的定义域是(0,+∞). 注意:
    对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。如:, 都不是对数函数,而只能称其为对数型函数. 对数函数对底数的限制:,且. 2、对数函数的性质:
    a>1 0<a<1 定义域x>0 定义域x>0 值域为R 值域为R 在R上递增 在R上递减 函数图象都过定点(1,0) 函数图象都过定点(1,0) (三)幂函数 1、幂函数定义:一般地,形如的函数称为幂函数,其中为常数. 2、幂函数性质归纳. (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义并且图象都过点(1,1);

    (2)时,幂函数的图象通过原点,并且在区间上是增函数.特别地,当时,幂函数的图象下凸;
    当时,幂函数的图象上凸;

    (3)时,幂函数的图象在区间上是减函数.在第一象限内,当从右边趋向原点时,图象在轴右方无限地逼近轴正半轴,当趋于时,图象在轴上方无限地逼近轴正半轴. 例题:
    1. 已知a>0,a0,函数y=ax与y=loga(-x)的图象只能是       (  )         2.计算:
    ① ;②= ;
    = ; ③ = 3.函数y=log(2x2-3x+1)的递减区间为 4.若函数在区间上的最大值是最小值的3倍,则a= 5.已知,(1)求的定义域(2)求使的的取值范围 第三章 函数的应用 一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念:对于函数,把使成立的实数叫做函数的零点。

    2、函数零点的意义:函数的零点就是方程实数根,亦即函数的图象与轴交点的横坐标。

    即:方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点. 3、函数零点的求法:
    (代数法)求方程的实数根;

    (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点. 4、二次函数的零点:
    二次函数. (1)△>0,方程有两不等实根,二次函数的图象与轴有两个交点,二次函数有两个零点. (2)△=0,方程有两相等实根,二次函数的图象与轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点. (3)△<0,方程无实根,二次函数的图象与轴无交点,二次函数无零点. 5.函数的模型 收集数据 画散点图 选择函数模型 求函数模型 用函数模型解释实际问题 符合实际 不符合实际 检验

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