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    复变函数14套题目和答案

    时间:2020-11-21 21:05:21来源:小小文档网本文已影响

    《复变函数论》试题库 《复变函数》考试试题(一) 一、 判断题(20分):
    1.若f(z)在z0的某个邻域内可导,则函数f(z)在z0解析. ( ) 2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3.若收敛,则与都收敛. ( ) 4.若f(z)在区域D内解析,且,则(常数). ( ) 5.若函数f(z)在z0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若z0是的m阶零点,则z0是1/的m阶极点. ( ) 7.若存在且有限,则z0是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域D内的单叶函数,则. ( ) 9. 若f(z)在区域D内解析, 则对D内任一简单闭曲线C. ( ) 10.若函数f(z)在区域D内的某个圆内恒等于常数,则f(z)在区域D内恒等于常数.( ) 二.填空题(20分) 1. __________.(为自然数) 2. _________. 3.函数的周期为___________. 4.设,则的孤立奇点有__________. 5.幂级数的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析,则称它是__________. 7.若,则______________. 8.________,其中n为自然数. 9. 的孤立奇点为________ . 10.若是的极点,则. 三.计算题(40分):
    1. 设,求在内的罗朗展式. 2. 3. 设,其中,试求 4. 求复数的实部与虚部. 四. 证明题.(20分) 1. 函数在区域内解析. 证明:如果在内为常数,那么它在内为常数. 2. 试证: 在割去线段的平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线上岸取正值的那支在的值. 《复变函数》考试试题(二) 1、 判断题.(20分) 1. 若函数在D内连续,则u(x,y)与v(x,y)都在D内连续. ( ) 2. cos z与sin z在复平面内有界. ( ) 3. 若函数f(z)在z0解析,则f(z)在z0连续. ( ) 4. 有界整函数必为常数. ( ) 5. 如z0是函数f(z)的本性奇点,则一定不存在. ( ) 6. 若函数f(z)在z0可导,则f(z)在z0解析. ( ) 7. 若f(z)在区域D内解析, 则对D内任一简单闭曲线C. ( ) 8. 若数列收敛,则与都收敛. ( ) 9. 若f(z)在区域D内解析,则|f(z)|也在D内解析. ( ) 10. 存在一个在零点解析的函数f(z)使且. ( ) 二. 填空题. (20分) 1. 设,则 2.设,则________. 3. _________.(为自然数) 4. 幂级数的收敛半径为__________ . 5. 若z0是f(z)的m阶零点且m>0,则z0是的_____零点. 6. 函数ez的周期为__________. 7. 方程在单位圆内的零点个数为________. 8. 设,则的孤立奇点有_________. 9. 函数的不解析点之集为________. 10. . 三. 计算题. (40分) 1. 求函数的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数在正实轴取正实值的一个解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点处的值. 3. 计算积分:,积分路径为(1)单位圆()的右半圆. 4. 求 . 四. 证明题. (20分) 1. 设函数f(z)在区域D内解析,试证:f(z)在D内为常数的充要条件是在D内解析. 2. 试用儒歇定理证明代数基本定理. 《复变函数》考试试题(三) 一. 判断题. (20分). 1. cos z与sin z的周期均为. ( ) 2. 若f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件, 则f(z)在z0解析. ( ) 3. 若函数f(z)在z0处解析,则f(z)在z0连续. ( ) 4. 若数列收敛,则与都收敛. ( ) 5. 若函数f(z)是区域D内解析且在D内的某个圆内恒为常数,则数f(z)在区域D内为常数. ( ) 6. 若函数f(z)在z0解析,则f(z)在z0的某个邻域内可导. ( ) 7. 如果函数f(z)在上解析,且,则 . ( ) 8. 若函数f(z)在z0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 9. 若z0是的m阶零点, 则z0是1/的m阶极点. ( ) 10. 若是的可去奇点,则. ( ) 二. 填空题. (20分) 1. 设,则f(z)的定义域为___________. 2. 函数ez的周期为_________. 3. 若,则__________. 4. ___________. 5. _________.(为自然数) 6. 幂级数的收敛半径为__________. 7. 设,则f(z)的孤立奇点有__________. 8. 设,则. 9. 若是的极点,则. 10. . 三. 计算题. (40分) 1. 将函数在圆环域内展为Laurent级数. 2. 试求幂级数的收敛半径. 3. 算下列积分:,其中是. 4. 求在|z|<1内根的个数. 四. 证明题. (20分) 1. 函数在区域内解析. 证明:如果在内为常数,那么它在内为常数. 2. 设是一整函数,并且假定存在着一个正整数n,以及两个正数R及M,使得当时 , 证明是一个至多n次的多项式或一常数。

    《复变函数》考试试题(四) 一. 判断题. (20分) 1. 若f(z)在z0解析,则f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件. ( ) 2. 若函数f(z)在z0可导,则f(z)在z0解析. ( ) 3. 函数与在整个复平面内有界. ( ) 4. 若f(z)在区域D内解析,则对D内任一简单闭曲线C都有. ( ) 5. 若存在且有限,则z0是函数的可去奇点. ( ) 6. 若函数f(z)在区域D内解析且,则f(z)在D内恒为常数. ( ) 7. 如果z0是f(z)的本性奇点,则一定不存在. ( ) 8. 若,则为的n阶零点. ( ) 9. 若与在内解析,且在内一小弧段上相等,则. ( ) 10. 若在内解析,则 . ( ) 二. 填空题. (20分) 1. 设,则. 2. 若,则______________. 3. 函数ez的周期为__________. 4. 函数的幂级数展开式为__________ 5. 若函数f(z)在复平面上处处解析,则称它是___________. 6. 若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析,则称它是D内的_____________. 7. 设,则. 8. 的孤立奇点为________. 9. 若是的极点,则. 10. _____________. 三. 计算题. (40分) 1. 解方程. 2. 设,求 3. . 4. 函数有哪些奇点?各属何类型(若是极点,指明它的阶数). 四. 证明题. (20分) 一. 证明:若函数在上半平面解析,则函数在下半平面解析. 2. 证明方程在内仅有3个根. 《复变函数》考试试题(五) 二. 判断题.(20分) 1. 若函数f(z)是单连通区域D内的解析函数,则它在D内有任意阶导数. ( ) 2. 若函数f(z)在区域D内的解析,且在D内某个圆内恒为常数,则在区域D内恒等于常数. ( ) 3. 若f(z)在区域D内解析,则|f(z)|也在D内解析. ( ) 4. 若幂级数的收敛半径大于零,则其和函数必在收敛圆内解析. ( ) 5. 若函数f(z)在z0处满足Cauchy-Riemann条件,则f(z)在z0解析. ( ) 6. 若存在且有限,则z0是f(z)的可去奇点. ( ) 7. 若函数f(z)在z0可导,则它在该点解析. ( ) 8. 设函数在复平面上解析,若它有界,则必为常数. ( ) 9. 若是的一级极点,则 . ( ) 10. 若与在内解析,且在内一小弧段上相等,则. ( ) 二. 填空题.(20分) 1. 设,则. 2. 当时,为实数. 3. 设,则. 4. 的周期为___. 5. 设,则. 6. . 7. 若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析,则称它是D内的_____________。

    8. 函数的幂级数展开式为_________. 9. 的孤立奇点为________. 10. 设C是以为a心,r为半径的圆周,则.(为自然数) 三. 计算题. (40分) 1. 求复数的实部与虚部. 2. 计算积分:
    , 在这里L表示连接原点到的直线段. 3. 求积分:,其中0<a<1. 4. 应用儒歇定理求方程,在|z|<1内根的个数,在这里在上解析,并且. 四. 证明题. (20分) 1. 证明函数除去在外,处处不可微. 2. 设是一整函数,并且假定存在着一个正整数n,以及两个数R及M,使得当时 , 证明:是一个至多n次的多项式或一常数. 《复变函数》考试试题(六) 二、 判断题(30分):
    1. 若函数在解析,则在连续. ( ) 2. 若函数在处满足Caychy-Riemann条件,则在解析. ( ) 3. 若函数在解析,则在处满足Caychy-Riemann条件. ( ) 4. 若函数在是区域内的单叶函数,则. ( ) 5. 若在单连通区域内解析,则对内任一简单闭曲线都有.( ) 6. 若在区域内解析,则对内任一简单闭曲线都有.( ) 7. 若,则函数在是内的单叶函数.( ) 8. 若是的阶零点,则是的阶极点.( ) 9. 如果函数在上解析,且,则.( ) 10. .( ) 三、 填空题(20分) 1. 若,则___________. 2. 设,则的定义域为____________________________. 3. 函数的周期为_______________________. 4. _______________________. 5. 幂级数的收敛半径为________________. 6. 若是的阶零点且,则是的____________零点. 7. 若函数在整个复平面处处解析,则称它是______________. 8. 函数的不解析点之集为__________. 9. 方程在单位圆内的零点个数为___________. 10. 公式称为_____________________. 四、 计算题(30分) 1、. 2、设,其中,试求. 3、设,求. 4、求函数在内的罗朗展式. 5、求复数的实部与虚部. 6、求的值. 五、 证明题(20分) 2、 方程在单位圆内的根的个数为6. 3、 若函数在区域内解析,等于常数,则在恒等于常数. 4、 若是的阶零点,则是的阶极点. 《复变函数》考试试题(七) 一、 判断题(24分) 2. 若函数在解析,则在的某个领域内可导.( ) 3. 若函数在处解析,则在满足Cauchy-Riemann条件.( ) 4. 如果是的可去奇点,则一定存在且等于零.( ) 5. 若函数是区域内的单叶函数,则.( ) 6. 若函数是区域内的解析函数,则它在内有任意阶导数.( ) 7. 若函数在区域内的解析,且在内某个圆内恒为常数,则在区域内恒等于常数.( ) 8. 若是的阶零点,则是的阶极点.( ) 二、 填空题(20分) 1. 若,则___________. 2. 设,则的定义域为____________________________. 3. 函数的周期为______________. 4. _______________. 5. 幂级数的收敛半径为________________. 6. 若是的阶零点且,则是的____________零点. 7. 若函数在整个复平面处处解析,则称它是______________. 8. 函数的不解析点之集为__________. 9. 方程在单位圆内的零点个数为___________. 10. _________________. 三、 计算题(30分) 1、 求. 2、 设,其中,试求. 3、设,求. 4、求函数在内的罗朗展式. 5、求复数的实部与虚部. 6、利用留数定理计算积分:,. 四、 证明题(20分) 1、方程在单位圆内的根的个数为7. 2、若函数在区域内解析,等于常数,则在恒等于常数. 3、 若是的阶零点,则是的阶极点. 五、 计算题(10分) 求一个单叶函数,去将平面上的上半单位圆盘保形映射为平面的单位圆盘 《复变函数》考试试题(八) 一、判断题(20分) 1、若函数在解析,则在连续.( ) 2、若函数在满足Cauchy-Riemann条件,则在处解析.( ) 3、如果是的本性奇点,则一定不存在.( ) 4、若函数是区域内解析,并且,则是区域的单叶函数.( ) 5、若函数是区域内的解析函数,则它在内有任意阶导数.( ) 6、若函数是单连通区域内的每一点均可导,则它在内有任意阶导数.( ) 7、若函数在区域内解析且,则在内恒为常数.( ) 9. 存在一个在零点解析的函数使且.( ) 10. 如果函数在上解析,且,则.( ) 11. 是一个有界函数.( ) 二、填空题(20分) 1、若,则___________. 2、设,则的定义域为____________________________. 3、函数的周期为______________. 4、若,则_______________. 5、幂级数的收敛半径为________________. 6、函数的幂级数展开式为______________________________. 7、若是单位圆周,是自然数,则______________. 8、函数的不解析点之集为__________. 9、方程在单位圆内的零点个数为___________. 10、若,则的孤立奇点有_________________. 三、计算题(30分) 1、求 2、设,其中,试求. 3、设,求. 4、求函数在内的罗朗展式. 5、求复数的实部与虚部. 四、证明题(20分) 1、方程在单位圆内的根的个数为7. 2、若函数在区域内连续,则二元函数与都在内连续. 4、 若是的阶零点,则是的阶极点. 六、 计算题(10分) 求一个单叶函数,去将平面上的区域保形映射为平面的单位圆盘. 《复变函数》考试试题(九) 一、判断题(20分) 1、若函数在可导,则在解析.( ) 2、若函数在满足Cauchy-Riemann条件,则在处解析.( ) 3、如果是的极点,则一定存在且等于无穷大.( ) 4、若函数在单连通区域内解析,则对内任一简单闭曲线都有.( ) 5、若函数在处解析,则它在该点的某个领域内可以展开为幂级数.( ) 6、若函数在区域内的解析,且在内某一条曲线上恒为常数,则在区域内恒为常数.( ) 7、若是的阶零点,则是的阶极点.( ) 8、如果函数在上解析,且,则.( ) 9、.( ) 10、如果函数在内解析,则( ) 二、填空题(20分) 1、若,则___________. 2、设,则的定义域为____________________________. 3、函数的周期为______________. 4、_______________. 5、幂级数的收敛半径为________________. 6、若是的阶零点且,则是的____________零点. 7、若函数在整个复平面除去有限个极点外,处处解析,则称它是______________. 8、函数的不解析点之集为__________. 9、方程在单位圆内的零点个数为___________. 10、_________________. 三、计算题(30分) 1、 2、设,其中,试求. 3、设,求. 4、求函数在内的罗朗展式. 5、 求复数的实部与虚部. 6、 利用留数定理计算积分. 四、证明题(20分) 1、方程在单位圆内的根的个数为6. 2、若函数在区域内解析,等于常数,则在恒等于常数. 7、 若是的阶零点,则是的阶极点. 五、计算题(10分) 求一个单叶函数,去将平面上的带开区域保形映射为平面的单位圆盘. 《复变函数》考试试题(十) 一、判断题(40分):
    1、若函数在解析,则在的某个邻域内可导.( ) 2、如果是的本性奇点,则一定不存在.( ) 3、若函数在内连续,则与都在内连续.( ) 4、与在复平面内有界.( ) 5、若是的阶零点,则是的阶极点.( ) 6、若在处满足柯西-黎曼条件,则在解析.( ) 7、若存在且有限,则是函数的可去奇点.( ) 8、若在单连通区域内解析,则对内任一简单闭曲线都有.( ) 9、若函数是单连通区域内的解析函数,则它在内有任意阶导数.( ) 10、若函数在区域内解析,且在内某个圆内恒为常数,则在区域内恒等于常数.( ) 二、填空题(20分):
    1、函数的周期为_________________. 2、幂级数的和函数为_________________. 3、设,则的定义域为_________________. 4、的收敛半径为_________________. 5、=_________________. 三、计算题(40分):
    1、 2、求 3、 4、设 求,使得为解析函数,且满足。其中(为复平面内的区域). 5、求,在内根的个数 《复变函数》考试试题(十一) 一、 判断题.(正确者在括号内打√,错误者在括号内打×,每题2分) 1.当复数时,其模为零,辐角也为零. ( ) 2.若是多项式的根,则也是的根.( ) 3.如果函数为整函数,且存在实数,使得,则为一常数.( ) 4.设函数与在区域内解析,且在内的一小段弧上相等,则对任意的,有. ( ) 5.若是函数的可去奇点,则. ( ) 二、填空题.(每题2分) 1. _____________________. 2.设,且,当时,________________. 3.函数将平面上的曲线变成平面上的曲线______________. 4.方程的不同的根为________________. 5.___________________. 6.级数的收敛半径为____________________. 7.在(为正整数)内零点的个数为_____________________. 8.函数的零点的阶数为_____________________. 9.设为函数的一阶极点,且,则_____________________. 10.设为函数的阶极点,则_____________________. 三、计算题(50分) 1.设。求,使得为解析函数,且满足.其中(为复平面内的区域).(15分) 2.求下列函数的奇点,并确定其类型(对于极点要指出它们的阶).(10分) (1) ;

    (5分) (2). (5分) 3.计算下列积分.(15分) (1) (8分), (2) (7分). 4.叙述儒歇定理并讨论方程在内根的个数.(10分) 四、证明题(20分) 1.设是上半复平面内的解析函数,证明是下半复平面内的解析函数.(10分) 2.设函数在内解析,令。证明:在区间上是一个上升函数,且若存在及(),使,则 常数.(10分) 《复变函数》考试试题(十二) 二、 判断题。(正确者在括号内打√,错误者在括号内打×,每题2分) 1.设复数及,若或,则称与是相等的复数。( ) 2.函数在复平面上处处可微。

    ( ) 3.且。

    ( ) 4.设函数是有界区域内的非常数的解析函数,且在闭域上连续,则存在,使得对任意的,有。

    ( ) 5.若函数是非常的整函数,则必是有界函数。( ) 二、填空题。(每题2分) 1. _____________________。

    2.设,且,当时,________________。

    3.若已知,则其关于变量的表达式为__________。

    4.以________________为支点。

    5.若,则_______________。

    6.________________。

    7.级数的收敛半径为________________。

    8.在(为正整数)内零点的个数为_______________。

    9.若为函数的一个本质奇点,且在点的充分小的邻域内不为零,则是的________________奇点。

    10.设为函数的阶极点,则_____________________。

    三、计算题(50分) 1.设区域是沿正实轴割开的平面,求函数在内满足条件的单值连续解析分支在处之值。

    (10分) 2.求下列函数的奇点,并确定其类型(对于极点要指出它们的阶),并求它们留数。(15分) (1)的各解析分支在各有怎样的孤立奇点,并求这些点的留数 (10分) (2)求。

    (5分) 3.计算下列积分。(15分) (1) (8分), (2) (7分)。

    4.叙述儒歇定理并讨论方程在内根的个数。(10分) 四、证明题(20分) 1.讨论函数在复平面上的解析性。

    (10分) 2.证明:

    此处是围绕原点的一条简单曲线。(10分) 《复变函数》考试试题(十三) 一、填空题.(每题2分) 1.设,则_____________________. 2.设函数,,,则的充要条件是_______________________. 3.设函数在单连通区域内解析,则在内沿任意一条简单闭曲线的积分_________________________. 4.设为的极点,则____________________. 5.设,则是的________阶零点. 6.设,则在的邻域内的泰勒展式为_________________. 7.设,其中为正常数,则点的轨迹曲线是_________________. 8.设,则的三角表示为_________________________. 9.___________________________. 10.设,则在处的留数为________________________. 二、计算题. 1.计算下列各题.(9分) (1) ;

     (2) ; (3) 2.求解方程.(7分) 3.设,验证是调和函数,并求解析函数,使之.(8分) 4.计算积分.(10分) (1) ,其中是沿由原点到点的曲线. (2) ,积分路径为自原点沿虚线轴到,再由沿水平方向向右到. 5.试将函数分别在圆环域和内展开为洛朗级数.(8分) 6.计算下列积分.(8分) (1) ;
        (2) . 7.计算积分.(8分) 8.求下列幂级数的收敛半径.(6分) (1) ;
            (2) . 9.讨论的可导性和解析性.(6分) 三、证明题. 1.设函数在区域内解析,为常数,证明必为常数.(5分) 2.试证明的轨迹是一直线,其中为复常数,为实常数.(5分 《复变函数》考试试题(十四) 一、填空题.(每题2分) 1.设,则___________________. 2.设函数,,,则的充要条件______________________. 3.设函数在单连通区域内解析,则在内沿任意一条简单闭曲线的积分_________________________. 4.设为的可去奇点,____________________. 5.设,则是的________阶零点. 6.设,则在的邻域内的泰勒展式为_________________. 7.设,其中为正常数,则点的轨迹曲线是_________________. 8.设,则的三角表示为_________________________. 9.___________________________. 10.设,则在处的留数为________________________. 二、计算题. 1.计算下列各题.(9分) (1) ;

     (2) ; (3) 2.求解方程.(7分) 3.设,验证是调和函数,并求解析函数,使之.(8分) 4.计算积分,其中路径为(1)自原点到点的直线段;

    (2)自原点沿虚轴到,再由沿水平方向向右到.(10分) 5.试将函数在的邻域内的泰勒展开式.(8分) 6.计算下列积分.(8分) (1) ;
        (2) . 7.计算积分.(6分) 8.求下列幂级数的收敛半径.(6分) (1) ;
            (2) . 9.设为复平面上的解析函数,试确定,,的值.(6分) 三、证明题. 1.设函数在区域内解析,在区域内也解析,证明必为常数.(5分) 2.试证明的轨迹是一直线,其中为复常数,为实常数.(5分) 试卷一至十四参考答案 《复变函数》考试试题(一)参考答案 8、 判断题 1.×2.√ 3.√ 4.√ 5.√  6.√ 7.×8.×9.×10.× 二.填空题 1. ;

    2. 1;

    3. ,;

    4. ;

    5. 1 6. 整函数;

    7. ;

    8. ;

    9. 0;

    10. . 三.计算题. 1. 解 因为 所以 . 2. 解 因为 , . 所以. 3. 解 令, 则它在平面解析, 由柯西公式有在内, . 所以. 4. 解 令, 则 . 故 , . 四. 证明题. 1. 证明 设在内. 令. 两边分别对求偏导数, 得 因为函数在内解析, 所以. 代入 (2) 则上述方程组变为 . 消去得, . 1) 若, 则 为常数. 2) 若, 由方程 (1) (2) 及 方程有 , . 所以. (为常数). 所以为常数. 2. 证明的支点为. 于是割去线段的平面内变点就不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支. 由于当从支割线上岸一点出发,连续变动到 时, 只有的幅角增加. 所以 的幅角共增加. 由已知所取分支在支割线上岸取正值, 于是可认为该分支在上岸之幅角为0, 因而此分支在的幅角为, 故. 《复变函数》考试试题(二)参考答案 一. 判断题. 1.√ 2.×3.√ 4.√ 5.×6.×7.×8.√ 9.×10.×. 二. 填空题 1.1,, ;

    2. ;

    3. ;

    4. 1;

    5. . 6. ,. 7. 0;

    8. ;

    9. ;

    10. 0. 三. 计算题 1. 解 . 2. 解 令. 则. 又因为在正实轴去正实值,所以. 所以. 3. 单位圆的右半圆周为, . 所以. 4. 解 =0. 四. 证明题. 1. 证明 (必要性) 令,则. (为实常数). 令. 则. 即满足, 且连续, 故在内解析. (充分性) 令, 则 , 因为与在内解析, 所以 , 且. 比较等式两边得 . 从而在内均为常数,故在内为常数. 2. 即要证“任一 次方程 有且只有 个根”. 证明 令, 取, 当在上时, 有 . . 由儒歇定理知在圆 内, 方程 与 有相 同个数的根. 而 在 内有一个 重根 . 因此次方程在 内有 个根. 《复变函数》考试试题(三)参考答案 一. 判断题 1.× 2.×3.√ 4.√ 5.√6.√7. √ 8.√ 9.√ 10.√. 二.填空题. 1.; 2. ; 3. ; 4. 1; 5. ; 6. 1; 7. ; 8. ; 9. ; 10. . 三. 计算题. 1. 解 . 2. 解 . 所以收敛半径为. 3. 解 令 , 则 . 故原式. 4. 解 令 , . 则在 上均解析, 且, 故由儒歇定理有 . 即在 内, 方程只有一个根. 四. 证明题. 1. 证明 证明 设在内. 令. 两边分别对求偏导数, 得 因为函数在内解析, 所以. 代入 (2) 则上述方程组变为 . 消去得, . 1) , 则 为常数. 5. 若, 由方程 (1) (2) 及 方程有 , . 所以. (为常数). 所以为常数. 2. 证明 取 , 则对一切正整数 时, . 于是由的任意性知对一切均有. 故, 即是一个至多次多项式或常数. 《复变函数》考试试题(四)参考答案 一. 判断题. 1.√ 2.× 3.× 4.× 5.× 6.√ 7.×8.× 9.√10.√ . 二. 填空题. 1. , ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. 整函数; 6. 亚纯函数; 7. 0; 8. ; 9. ; 10. . 三. 计算题. 1. 2. 解 , . 故原式. 3. 解 原式. 4. 解 =,令,得, 而 为可去奇点 当时, 而 为一阶极点. 四. 证明题. 1. 证明 设, 在下半平面内任取一点, 是下半平面内异于的点, 考虑 . 而, 在上半平面内, 已知在上半平面解析, 因此, 从而在下半平面内解析. 2. 证明 令, , 则与在全平面解析, 且在上, , 故在内. 在上, , 故在内. 所以在内仅有三个零点, 即原方程在内仅有三个根. 《复变函数》考试试题(五)参考答案 一. 判断题. 1.√2.√ 3.×4.√5.× 6.× 7.× 8.√ 9.√ 10.√. 二. 填空题. 1.2, , ; 2. ; 3. , ; 4. ; 5. 0; 6. 0; 7. 亚纯函数; 8. ; 9. 0; 10. . 三. 计算题. 1. 解 令, 则 . 故 , . 2. 解 连接原点及的直线段的参数方程为 , 故. 3. 令, 则. 当时 , 故, 且在圆内只以为一级极点, 在上无奇点, 故, 由残数定理有 . 4. 解 令 则在内解析, 且在上, , 所以在内, , 即原方程在 内只有一个根. 四. 证明题. 1. 证明 因为, 故. 这四个偏导数在平面上处处连续, 但只在处满足条件, 故只在除了外处处不可微. 2. 证明 取 , 则对一切正整数 时, . 于是由的任意性知对一切均有. 故, 即是一个至多次多项式或常数. 《复变函数》考试试题(六)参考答案 一、判断题:1.√ 2.× 3.√ 4.√ 5.√ 6.√ 7.× 8.√ 9.√ 10.× 二、填空题:1. 2. 3. 4. 1 5. 1 6. 阶 7. 整函数 8. 9. 0 10. 欧拉公式 三、计算题:
    1. 解:因为 故. 2. 解:
    因此 故 . 3.解:
    4.解:
    5.解:设, 则. 6.解:
    四、1. 证明:设 则在上, 即有. 根据儒歇定理,与在单位圆内有相同个数的零点,而的零点个数为6,故在单位圆内的根的个数为6. 2.证明:设,则, 由于在内解析,因此有 , . 于是故,即在内恒为常数. 3.证明:由于是的阶零点,从而可设 , 其中在的某邻域内解析且, 于是 由可知存在的某邻域,在内恒有,因此在内解析,故为的阶极点. 《复变函数》考试试题(七)参考答案 一、判断题:1.√ 2. √ 3. × 4.√ 5.√ 6.√ 7. √ 8. × 二、填空题:1. 2. 3. 4. 1 5. 1 6. 阶 7. 整函数 8. 9. 0 10. 三、计算题:
    1. 解:
    2. 解:
    因此 故 . 3. 解:
    因此 4. 解:
    由于,从而. 因此在内 有 5.解:设, 则. 6.解:设,则, ,故奇点为 . 四、证明题:
    1. 证明:设 则在上, 即有. 根据儒歇定理知在内与在单位圆内有相同个数的零点,而在内的零点个数为7,故在单位圆内的根的个数为7. 2.证明:设,则 已知在区域内解析,从而有 将此代入上上述两式得 因此有 于是有. 即有 故在区域恒为常数. 3.证明:由于是的阶零点,从而可设 , 其中在的某邻域内解析且, 于是 由可知存在的某邻域,在内恒有,因此在内解析,故为的阶极点. 五、计算题 解:根据线性变换的保对称点性知关于实轴的对称点应该变到关于圆周的对称点,故可设 《复变函数》考试试题(八)参考答案 一、判断题:1.√ 2. × 3. √ 4. × 5.√ 6.√ 7. √ 8. × 9. √ 10.× 二、填空题:1. 2. 3. 4. 5. 1 6. 7. 8. 9. 5 10. 三、计算题:
    1. 解:由于在解析, 所以 而 因此. 2. 解:
    因此 故 . 3. 解:
    因此 4.解:
    由于,从而 因此在内有 5.解:设, 则. 6.解:设, 则 在内只有一个一级极点 因此 . 四、证明:
    1. 证明:设 则在上, 即有. 根据儒歇定理知在内与在单位圆内有相同个数的零点,而在内的零点个数为7,故在单位圆内的根的个数为7 2. 证明:因为,在内连续, 所以, 当时有 从而有 即与在连续,由的任意性知与都在内连续 3.证明:由于是的阶零点,从而可设 , 其中在的某邻域内解析且, 于是 由可知存在的某邻域,在内恒有,因此在内解析,故为的阶极点. 五、解:1.设,则将区域保形映射为区域 2.设, 则将上半平面保形变换为单位圆. 因此所求的单叶函数为 . 《复变函数》考试试题(九)参考答案 一、判断题(20分) 1、× 2、× 3、√ 4、√ 5、√ 6、√ 7、√ 8、√ 9、× 10、√ 二、填空题(20分) 1、 2、 3、 4、1 5、1 6、 7、整函数 8、 9、8 10、 三、计算题(30) 1、解:
    2、解:
    因此 故 . 3、解:
    4、解:
    由于,从而. 因此在内 有 5、解:设, 则. 6、解:设则在内有两个一级极点, 因此,根据留数定理有 四、证明题(20分) 1、证明:设 则在上, 即有. 根据儒歇定理,与在单位圆内有相同个数的零点,而的零点个数为6,故在单位圆内的根的个数为6. 2、证明:设,则, 由于在内解析,因此有 , . 于是故,即在内恒为常数. 3、证明:由于是的阶零点,从而可设 , 其中在的某邻域内解析且, 于是 由可知存在的某邻域,在内恒有,因此在内解析,故为的阶极点. 五、计算题(10分) 解:1、设则将区域保形变换为区域. 2、设,则将区域保形变换为区域 3、设则将保形变换为上半平面,因此,所求的单叶函数为 《复变函数》考试试题(十)参考答案 一、判断题(40分):
    1.√ 2. √ 3.√ 4. × 5. √ 6. × 7. √ 8. √ 9. √ 10. √ 二、填空题(20分):
    1. 2. 3. 4. 5. 三、计算题(40分) 1. 解:在上解析,由积分公式,有 2. 解:设,有 3. 解:
    4. 解:, 故, 5. 解:令, 则,在内均解析,且当时 由定理知根的个数与根的个数相同. 故在内仅有一个根. 《复变函数》考试试题(十一)参考答案 一、1.×  2.√  3.×  4.√  5.√ 二、1. 1 2.  3.  4. 5. 6.   7.      8.15 9. 10. 三、1.解:
    . 又 . 故. 2.解: (1) 奇点为对任意整数, 为二阶极点, 为本性奇点. (2) 奇点为 为本性奇点,对任意整数,为一级极点,为本性奇点. 3. (1)解: 共有六个有限奇点, 且均在内, 由留数定理,有 将在的去心邻域内作展开 所以 . (2)解: 令,则 再令则,故 由留数定理,有 4.解:儒歇定理:设为一条围线,若函数与均在内部及上解析且 ,,则与在内部的零点个数相同. 令, 则在内解析且 当时 , 由儒歇定理的根个数与根个数相同 故在内有4个根. 四、1.证明: 由在上半平面内解析,从而有 因此有 故在下半平面内解析. 2.证明: (1) 则 故,即在上为的上升函数. (2)如果存在及使得 则有 于是在内恒为常数,从而在内恒为常数. 《复变函数》考试试题(十二)参考答案 一、判断题. 1. × 2. × 3. × 4. √ 5. × 二、填空题. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.本性 10. 三、计算题. 1.解:
    由 得 从而有 2.解:(1)的各解析分支为,. 为的可去奇点,为的一阶极点。

    (2) 3.计算下列积分 解:(1) (2)设 令, 则 4.儒歇定理:设是一条围线,及满足条件:
    (1)它们在的内部均解析,且连续到;

    (2)在上, 则与在的内部有同样多零点, 即 有 由儒歇定理知在没有根。

    四、证明题 1证明:.设 有 易知,在任意点都不满足条件,故在复平面上处处不解析。

    2.证明:于高阶导数公式得 即 故 从而 《复变函数》考试试题(十三)参考答案 一、填空题.(每题2分) 1. 2. 及 3. 4. 5. 6. 7.椭圆 8. 9. 10. 二、计算题. 1.计算下列各题.(9分) 解: (1) (2) (3) 2. 解: 故共有三个根: , , 3. 解: 是调和函数. 4. 解 (1) (2) 5. 解: 时 时 6. 解: (1) (2) 7.解: 设 和为上半平面内的两个一级极点,且 8. (1) (2) 9. 解: 设,则 当且仅当时,满足条件,故仅在可导,在平面内处处不解析. 三、 1. 证明: 设,因为为常数,不妨设 (为常数) 则 由于在内解析,从而有, 将此代入上述两式可得 于是 因此在内为常数. 2. 解: 设, (,为实常数) 则 故的轨迹是直线 《复变函数》考试试题(十四)参考答案 一、 1、 2、且 3、0 4、有限值 5、4 6、 7、椭圆 8、 9、 10、 二、计算题。

    1、解(1) (2) (3) = 2、解:
    故:方程共有三个根,分别为:
    3、解:
    故是调和函数。

    4. 解: (1) (2) 5. 解: = 6. 解: (1) (2) 7. 解: 设 则, 令则在内只有一级权点, ,依离数定理有 8. 解: (1) 即 . 故 (2) 9.解 设, 则 因解析,由条件有,解得. 三 1. 证明 设,由 有, 又也在也解析,有, 由与得 故在内为常数. 2. 证明,设有 即点在直线上为实常数.

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