四川省中考复习专题：特殊的平行四边形

2021年四川中考复习专题：特殊的平行四边形 一、解答题 1．如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的点，且BE＝DF，连接AE，CF． （1）求证△ADE≌△CBF；

（2）连接AF，CE，若AB＝AD，求证：四边形AFCE是菱形． 2．如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且∠BAE＝∠DAF．求证：AE＝AF． 3．如图，在菱形ABCD中，E、F是AC上两点，AE＝CF．求证：四边形BFDE是菱形． 4．如图，正方形ABCD的边长是4，BE＝CE，DF＝3CF．证明：∠AEF＝90°． 5．如图，四边形ABCD为菱形，点E，F分别为边DA，DC上的点，DE＝DF，连接BE，BF，求证：BE＝BF． 6．如图，菱形ABCD中，DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N．求证：AM＝CN． 7．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB＝5cm，∠BOC＝120°，求矩形对角线的长． 8．已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD于点E，BF⊥AC于点F．求证：AE＝BF． 9．如图，在▱ABCD中，BC＝2CD，E，F分别是AD，BC的中点，连接EF． （1）求证：四边形EFCD是菱形；

（2）连接AF，若AF＝23，∠DEF＝60°，则EF的长为　 　；
菱形EFCD的面积为　 　． 10．如图，在菱形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过O的直线交AD，BC分别于点E，F，连接CE，AF．求证：AF＝CE． 11．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF． （1）求证：四边形AEFD是矩形；

（2）连接OE，若AD＝10，EC＝4，求OE的长度． 12．如图，在▱ABCD中，E、F分别为AD、BC的中点，点M、N在对角线AC上，且AM＝CN． （1）求证四边形EMFN是平行四边形；

（2）若AB⊥AC，求证▱EMFN是菱形． 13．如图，在▱ABCD中，点E、F在AD边上，且BF＝CE，AE＝DF． （1）求证：△ABF≌△DCE；

（2）求证：四边形ABCD是矩形． 14．如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，AE∥BC，DE∥AB，DE与AC交于点O，连接CE． （1）求证：AD＝EC；

（2）若∠BAC＝90°，求证：四边形ADCE是菱形． 15．如图，在▱ABCD中，对角线AC平分∠BAD，点E、F在AC上，且CE＝AF．连接BE、BF、DE、DF．求证：四边形BEDF是菱形． 16．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，连接BD，过点C作CE∥BD，过B作BE∥AC，两直线相交于点E． （1）求证：四边形DBEC是菱形；

（2）若∠A＝30°，BC＝2，求四边形DBEC的面积． 17．如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于O． （1）如图1，设E、F分别是AD、AB上的点，且∠EOF＝90°，线段AF、BF和EF之间存在一定的数量关系．请你用等式直接写出这个数量关系；

（2）如图2，设E、F分别是AB上不同的两个点，且∠EOF＝45°，请你用等式表示线段AE、BF和EF之间的数量关系，并证明． 18．如图，矩形ABCD中，AB＝23，BC＝3，点E射线BC上一动点，△ABE关于AE的轴对称图形为△FAE． （1）当点F在对角线AC上时，求FC的长；

（2）当△FCE是直角三角形时，求BE的长． 19．【阅读】在平面直角坐标系中，以任意两点P（x1，y1）、Q（x2，y2）为端点的线段中点坐标为（x1+x22，y1+y22）．已知平行四边形的对角线互相平分，如图连接OE，FN相交于点M，则OE，FN是平行四边形ONEP的对角线，且OE，PN互相平分，即点M是线段OE，FN的中点． 【运用】（1）如图，矩形ONEF的对角线交于点M，ON、OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E的坐标为（4，3），则点M是线段OE中点，则点M的坐标为　 　． （2）在直角坐标系中，有A（﹣1，2），B（3，1），C（1，4）三点，另有一点D与点A、B、C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标． 20．如图1，点E在正方形AOCD的边AD上，点H在边AO上，AH＝DE． （1）求证：DH⊥CE；

（2）如图2，EF⊥CE，FH⊥AO，垂足为点H．求证：FH＝AH． 21．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠OCF＝∠OBE．求证：∠AEB＝∠BFC． 22．如图，在菱形ABCD中，∠ACD＝30°，BD＝6，求AC的长． 23．如图①，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE＝PB． （1）求证：PD＝PE；

（2）如图②，当∠ABC＝90°时，连接DE，则DEBP是否为定值？如果是，请求其值；
如果不是，请说明理由． 24．如图，在▱ABCD中，延长AB到点E，使BE＝AB，DE交BC于点O，连接EC． （1）求证：四边形BECD是平行四边形；

（2）若∠A＝40°，当∠BOD等于多少度时四边形BECD是矩形，并说明理由． 25．如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，点M，N分别是BC，DE的中点． （1）求证：MN⊥DE；

（2）若∠A＝60°，BC＝12，求MN的值． 26．如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF． （1）求证：四边形BFDE是矩形；

（2）已知∠DAB＝60°，AF是∠DAB的平分线，若AD＝4，求▱ABCD的面积． 27．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O．AB＝10，AC＝12，BD＝16． （1）求证：▱ABCD是菱形；

（2）若点P是对角线BD上一动点（不与点B、D重合），PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F，PE+PF是否为定值？若是，求出这个定值；
若不是，请说明理由． 28．如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF． （1）求证：△EBF≌△ABC；

（2）求证：四边形AEFD是平行四边形；

（3）△ABC满足　 　时，四边形AEFD是正方形． 29．已知边长为2的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（与点A，C不重合），过点P作PE⊥PB，PE交DC于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为点F． （1）求证：PB＝PE；

（2）在点P的运动过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，求出这个不变的值；
若变化，试说明理由． 30．如图，在正方形ABCD中，P是对角线BD的一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于点F． （1）求证：PC＝PE；

（2）若PD＝DE，求证：BP＝BC． 2021年四川中考复习专题：特殊的平行四边形 参考答案与试题解析 一、解答题 1．如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的点，且BE＝DF，连接AE，CF． （1）求证△ADE≌△CBF；

（2）连接AF，CE，若AB＝AD，求证：四边形AFCE是菱形． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴∠ADE＝∠CBF， ∵BE＝DF， ∴BF＝DE， 在△ADE和△CBF中， AD=CB∠ADE=∠CBFDE=BF， ∴△ADE≌△CBF（SAS）；

（2）连接AC，交BD于点O， ∵AB＝AD，四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO， ∵BE＝DF， ∴EO＝FO， ∴四边形AECF是平行四边形， 又∵AC⊥BD， ∴四边形AECF是菱形． 2．如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且∠BAE＝∠DAF．求证：AE＝AF． 【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴∠B＝∠D，AB＝AD， 在△ABE和△ADF中， ∠BAE=∠DAFAB=AD∠B=∠D， ∴△ABE≌△ADF（ASA）， ∴AE＝AF． 3．如图，在菱形ABCD中，E、F是AC上两点，AE＝CF．求证：四边形BFDE是菱形． 【解答】证明：连接BD交AC于点O， ∵四边形ABCD为菱形， ∴OB＝OD，OA＝OC，AC⊥BD， ∵AE＝CF， ∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF， ∴四边形BEDF为平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴四边形BEDF为菱形． 4．如图，正方形ABCD的边长是4，BE＝CE，DF＝3CF．证明：∠AEF＝90°． 【解答】证明：连接AF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∵正方形ABCD的边长是4，BE＝CE，DF＝3CF． ∴BE＝CE＝2，CF＝1，DF＝3， 由勾股定理得， AE2＝AB2+BE2＝42+22＝20， EF2＝CE2+CF2＝22+12＝5， AF2＝AD2+DF2＝42+32＝25， 又∵AE2+EF2＝AF2， ∴△AEF是直角三角形，即∠AEF＝90°． 5．如图，四边形ABCD为菱形，点E，F分别为边DA，DC上的点，DE＝DF，连接BE，BF，求证：BE＝BF． 【解答】证明：如图，连接BD， 在菱形ABCD中，∠ADB＝∠CDB， 在△EDB和△FDB中， DE=DF∠EDB=∠FDBBD=BD， ∴△EDB≌△FDB（SAS）， ∴BE＝BF． 6．如图，菱形ABCD中，DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N．求证：AM＝CN． 【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝CD，∠A＝∠C， ∵DM⊥AB，DN⊥BC， ∴∠DMA＝∠DNC＝90°， 在△DAM和△DCN中， ∠A=∠C∠DMA=∠DNC=90°AD=CD， ∴△DAM≌△DCN（AAS）， ∴AM＝CN． 7．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB＝5cm，∠BOC＝120°，求矩形对角线的长． 【解答】解：∵∠BOC＝120°， ∴∠AOB＝180°﹣120°＝60°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°，AC＝BD，OA＝OC=12AC，OB＝OD=12BD， ∴OA＝OB， ∵∠AOB＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∵AB＝5cm， ∴OA＝OB＝AB＝5cm， ∴AC＝2AO＝10cm，BD＝AC＝10cm． 8．已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD于点E，BF⊥AC于点F．求证：AE＝BF． 【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OB， ∵AE⊥BD于点E，BF⊥AC于点F ∴∠AEO＝∠BFO＝90°， ∵∠AOE＝∠BOF， 在△AEO与△BFO中， ∠AEO=∠BFO=90°∠AOE=∠BOFOA=OB， ∴△AEO≌△BFO（AAS）， ∴AE＝BF． 9．如图，在▱ABCD中，BC＝2CD，E，F分别是AD，BC的中点，连接EF． （1）求证：四边形EFCD是菱形；

（2）连接AF，若AF＝23，∠DEF＝60°，则EF的长为　2　；
菱形EFCD的面积为　23　． 【解答】证明：（1）在▱ABCD中，BC＝2CD， ∴AD∥BC，AD＝BC＝2CD， ∵E，F分别是AD，BC的中点， ∴DE＝CF＝CD， 又AD∥BC， ∴四边形EFCD是平行四边形， 又∵CD＝DE， ∴四边形EFCD是菱形；

（2）如图，过点F作FH⊥AD于H， ∵四边形EFCD是菱形， ∴DE＝EF＝AE， ∵∠DEF＝60°， ∴∠EFH＝30°， ∴EH=12EF，FH=3EH， ∴AH＝AE+EH＝3EH， ∵AF2＝AH2+HF2， ∴12＝9EH2+3EH2， ∴EH＝1， ∴EF＝2＝DE，HF=3， ∴菱形EFCD的面积＝2×3=23， 故答案为：2，23． 10．如图，在菱形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过O的直线交AD，BC分别于点E，F，连接CE，AF．求证：AF＝CE． 【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC， ∴∠DAC＝∠BCA， ∵点O是AC的中点， ∴AO＝CO， 在△AOE和△COF中， ∠DAC=∠BCAAO=CO∠AOE=∠COF， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴AE＝CF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∴AF＝CE． 11．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF． （1）求证：四边形AEFD是矩形；

（2）连接OE，若AD＝10，EC＝4，求OE的长度． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC且AD＝BC， ∵BE＝CF， ∴BC＝EF， ∴AD＝EF， ∵AD∥EF， ∴四边形AEFD是平行四边形， ∵AE⊥BC， ∴∠AEF＝90°， ∴四边形AEFD是矩形；

（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AD＝10， ∴AD＝AB＝BC＝10， ∵EC＝4， ∴BE＝10﹣4＝6， 在Rt△ABE中，AE=AB2-BE2=102-62=8， 在Rt△AEC中，AC=AE2+EC2=82+42=45， ∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC， ∴OE=12AC=25． 12．如图，在▱ABCD中，E、F分别为AD、BC的中点，点M、N在对角线AC上，且AM＝CN． （1）求证四边形EMFN是平行四边形；

（2）若AB⊥AC，求证▱EMFN是菱形． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴∠EAM＝∠FCN， ∵E、F分别为AD、BC的中点， ∴AE＝DE＝BF＝CF， 在△AEM和△CFN中， AE=CF∠EAM=∠FCNAM=CN， ∴△AEM≌△CFN（SAS）， ∴EM＝FN，∠AME＝∠CNF， ∴∠EMN＝∠FNM， ∴EM∥FN， ∴四边形EMFN是平行四边形；

（2）连接EF交AC于O，如图所示：
由（1）得：AE∥BF，AE＝BF， ∴四边形AEBF是平行四边形， ∴AB∥EF， ∵AB⊥AC， ∴∠BAC＝90°， ∴∠COF＝∠BAC＝90°， ∴EF⊥MN， ∴▱EMFN是菱形． 13．如图，在▱ABCD中，点E、F在AD边上，且BF＝CE，AE＝DF． （1）求证：△ABF≌△DCE；

（2）求证：四边形ABCD是矩形． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∵AE＝FD， ∴AE+EF＝FD+EF， 即AF＝DE， 在△ABF和△DCE中， AB=CDBF=CEAF=DE， ∴△ABF≌△DCE（SSS）；

（2）由（1）可知：△ABF≌△DCE， ∴∠A＝∠D， ∵AB∥CD， ∴∠A+∠D＝180°， ∴2∠A＝180°， ∴∠A＝90°， ∴▱ABCD为矩形． 14．如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，AE∥BC，DE∥AB，DE与AC交于点O，连接CE． （1）求证：AD＝EC；

（2）若∠BAC＝90°，求证：四边形ADCE是菱形． 【解答】证明：（1）∵DE∥AB，AE∥BC， ∴四边形ABDE是平行四边形， ∴AE∥BD，且AE＝BD， 又∵AD是BC边的中线， ∴BD＝CD， ∴AE＝CD， ∵AE∥CD， ∴四边形ADCE是平行四边形， ∴AD＝EC；

（2）∵∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的中线， ∴AD＝BD＝CD， 由（1）得：四边形ADCE是平行四边形， ∴平行四边形ADCE是菱形． 15．如图，在▱ABCD中，对角线AC平分∠BAD，点E、F在AC上，且CE＝AF．连接BE、BF、DE、DF．求证：四边形BEDF是菱形． 【解答】证明：如图，连接BD交AC于点O， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BO＝DO，AO＝CO， ∵CE＝AF， ∴EO＝FO， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴∠BAC＝∠ACD， ∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠DAC， ∴∠ACD＝∠DAC， ∴AD＝CD， ∴AB＝AD， 在△ABF和△ADF中， AB=AD∠BAF=∠DAFAF=AF， ∴△ABF≌△ADF（SAS）， ∴BF＝DF， ∴四边形BEDF是菱形． 16．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，连接BD，过点C作CE∥BD，过B作BE∥AC，两直线相交于点E． （1）求证：四边形DBEC是菱形；

（2）若∠A＝30°，BC＝2，求四边形DBEC的面积． 【解答】证明：（1）∵CE∥BD，BE∥AC， ∴四边形BECD是平行四边形， ∵∠ABC＝90°，D是AC中点， ∴BD＝DC， ∴四边形DBEC是菱形；

（2）∵∠A＝30°，∠ABC＝90°，BC＝2， ∴AC＝2BC＝4，AB=3BC＝23， ∴S△CDB=12S△ABC=12×12×2×23=3， ∵四边形BECD是菱形 ∴S菱形DBEC＝2S△CDB＝23． 17．如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于O． （1）如图1，设E、F分别是AD、AB上的点，且∠EOF＝90°，线段AF、BF和EF之间存在一定的数量关系．请你用等式直接写出这个数量关系；

（2）如图2，设E、F分别是AB上不同的两个点，且∠EOF＝45°，请你用等式表示线段AE、BF和EF之间的数量关系，并证明． 【解答】解：（1）EF2＝AF2+BF2． 理由：如图1，∵四边形ABCD是正方形， ∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，AC⊥BD， ∴∠EOF＝∠AOB＝90°， ∴∠EOA＝∠FOB， 在△EOA和△FOB中， ∠EOA=∠FOBOA=OB∠OAE=∠OBF， ∴△EOA≌△FOB（ASA）， ∴AE＝BF， 在Rt△EAF中，EF2＝AE2+AF2＝AF2+BF2；

（2）在BC上取一点H，使得BH＝AE． ∵四边形ABCD是正方形， ∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBH，∠AOB＝90°， 在△OAE和△OBH中， OA=OB∠OAE=∠OBHAE=BH ∴△OAE≌△OBH（SAS）， ∴AE＝BH，∠AOE＝∠BOH，OE＝OH， ∵∠EOF＝45°， ∴∠AOE+∠BOF＝45°， ∴∠BOF+∠BOH＝45°， ∴∠FOE＝∠FOH＝45°， 在△FOE和△FOH中•， OF=OF∠FOE=∠FOHOE=OH， ∴△FOE≌△FOH（SAS）， ∴EF＝FH， ∵∠FBH＝90°， ∴FH2＝BF2+BH2， ∴EF2＝BF2+AE2， 18．如图，矩形ABCD中，AB＝23，BC＝3，点E射线BC上一动点，△ABE关于AE的轴对称图形为△FAE． （1）当点F在对角线AC上时，求FC的长；

（2）当△FCE是直角三角形时，求BE的长． 【解答】解：（1）如图所示：
∵AB＝23，BC＝3， ∴AC=AB2+BC2=21， ∵△ABE关于AE的轴对称图形为△FAE， ∴AF＝AB＝23， ∴FC＝AC﹣AF=21-23． （2）当△FCE是直角三角形时， ①当∠CFE是直角时，如（1）图所示：
由题意可知点F在对角线AC上，且EF⊥AC， 设BE＝x，则EF＝x， ∴S△ABC=12×3×23=33， S△ABE=12×23×x=3x， S△ACE=12×21×x， ∴33=3x+212x， 解得：x＝27-4． ∴BE＝27-4． ②当∠FCE是直角时，如图所示：
∵△ABE关于AE的轴对称图形为△FAE． ∴AB＝AF，BE＝EF， 在Rt△ADF中，AD＝3，AF＝23， ∴DF=AF2-AD2=12-9=3， CF＝DC﹣CE＝23-3=3， 设BE＝x，则EF＝x，CE＝3﹣x， ∴在Rt△ADF中， EF2＝CE2+CF2， x2＝（3﹣x）2+(3)2， 解得：x＝2， ∴BE＝EF＝2；

③当E在BC延长线上时，此时∠CEF是直角，如图所示：
由题意得：BE＝AB＝EF＝23． 19．【阅读】在平面直角坐标系中，以任意两点P（x1，y1）、Q（x2，y2）为端点的线段中点坐标为（x1+x22，y1+y22）．已知平行四边形的对角线互相平分，如图连接OE，FN相交于点M，则OE，FN是平行四边形ONEP的对角线，且OE，PN互相平分，即点M是线段OE，FN的中点． 【运用】（1）如图，矩形ONEF的对角线交于点M，ON、OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E的坐标为（4，3），则点M是线段OE中点，则点M的坐标为　（2，32）　． （2）在直角坐标系中，有A（﹣1，2），B（3，1），C（1，4）三点，另有一点D与点A、B、C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标． 【解答】解：（1）∵四边形ONEF是矩形， ∴M是OE的中点， ∵O为坐标原点，点E的坐标为（4，3）， ∴M（42，32），即M（2，32）；

故答案为：（2，32）；

（2）如图，有三种情况：
①当AC和BC为平行四边形的边时，连接对角线AB、CD1交于E， ∴AE＝EB，CE＝ED1， ∵A（﹣1，2），B（3，1）， ∴E（1，32）， ∵C（1，4）， ∴D1（1，﹣1）；

②当BC和CD2为平行四边形的边时，连接对角线BD2和AC交于G， 同理可得D2（﹣3，5）；

③当AC和AB为平行四边形的边时，连接 AD3和BC交于F， 同理可得D3（5，3）；

综上所述，点D的坐标为（1，﹣1）或（﹣3，5）或（5，3）． 20．如图1，点E在正方形AOCD的边AD上，点H在边AO上，AH＝DE． （1）求证：DH⊥CE；

（2）如图2，EF⊥CE，FH⊥AO，垂足为点H．求证：FH＝AH． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD， ∠DAH＝∠CDE＝90°， 在△HAD与△EDC中， AD=CD∠DAH=∠CDEAH=DE， ∴△HAD≌△EDC（SAS）， ∴∠ADH＝∠DCE， ∵∠ADH+∠HDC＝∠DCE+∠HDC＝90°， ∴∠DFC＝90°， ∴CE⊥DH；

（2）如图2，过F作FG⊥AD，交DA的延长线于G， ∵FH⊥AO， ∴∠G＝∠GAH＝∠AHF＝90°， ∴四边形AGFH是矩形， ∴FG＝AH＝DE，∠G＝90°， 在△GFE和△DEC中， ∠GEF=∠DCE∠G=∠DGF=DE， ∴△GFE≌△DEC（AAS）， ∴EG＝DC＝AD， ∴EG﹣AE＝AD﹣AE， ∴AG＝DE＝FH＝AH， ∴FH＝AH． 21．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠OCF＝∠OBE．求证：∠AEB＝∠BFC． 【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，即∠AOB＝∠BOC＝90°， ∴OB＝OC， 在△OCF和△OBE中， ∠OCF=∠OBEOC=OB∠COF=∠BOE， ∴△OCF≌△OBE（ASA）， ∴∠OFC＝∠OEB， ∴∠BFC＝∠AEB． 22．如图，在菱形ABCD中，∠ACD＝30°，BD＝6，求AC的长． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴BO＝DO=12BD＝3，AO＝CO，AC⊥BD， ∵∠ACD＝30°， ∴CO=3DO＝33， ∴AC＝2CO＝63． 23．如图①，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE＝PB． （1）求证：PD＝PE；

（2）如图②，当∠ABC＝90°时，连接DE，则DEBP是否为定值？如果是，请求其值；
如果不是，请说明理由． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴BC＝DC，∠BCP＝∠DCP，AB∥DC， 在△BCP和△DCP中， BC=DC∠BCP=∠DCPPC=PC， ∴△BCP≌△DCP（SAS）， ∴PB＝PD， ∵PE＝PB， ∴PD＝PE；

（2）DEBP=2，理由如下：
∵∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是正方形， 由（1）知，△BCP≌△DCP， ∴∠CBP＝∠CDP， ∵PE＝PB， ∴∠CBP＝∠E， ∵∠CFE＝∠DFP（对顶角相等）， ∴180°﹣∠DFP﹣∠CDP＝180°﹣∠CFE﹣∠E， 即∠DPE＝∠DCE， ∵AB∥CD， ∴∠DCE＝∠ABC， ∴∠DPE＝∠ABC＝90°， 又∵PD＝PE， ∴DE=2PE， ∴DEBP=2． 24．如图，在▱ABCD中，延长AB到点E，使BE＝AB，DE交BC于点O，连接EC． （1）求证：四边形BECD是平行四边形；

（2）若∠A＝40°，当∠BOD等于多少度时四边形BECD是矩形，并说明理由． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥DC，AB＝CD， ∵BE＝AB， ∴BE＝CD，BE∥CD， ∴四边形BECD是平行四边形；

（2）解：若∠A＝40°，当∠BOD＝80°时，四边形BECD是矩形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BCD＝∠A＝40°， ∵∠BOD＝∠BCD+∠ODC， ∴∠ODC＝80°﹣40°＝40°＝∠BCD， ∴OC＝OD， ∵BO＝CO，OD＝OE， ∴DE＝BC， ∵四边形BECD是平行四边形， ∴四边形BECD是矩形． 25．如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，点M，N分别是BC，DE的中点． （1）求证：MN⊥DE；

（2）若∠A＝60°，BC＝12，求MN的值． 【解答】（1）证明：∵BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，点M是BC的中点， ∴MD＝ME=12BC， ∴点N是DE的中点， ∴MN⊥DE；

（2）解：∵MD＝ME＝BM＝CM， ∴∠BME+∠CMD＝180°﹣2∠ABC+180°﹣2∠ACB＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB）， ∵∠A＝60°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣60°＝120°， ∴∠BME+∠CMD＝360°﹣2×120°＝120°， ∴∠DME＝60°， ∴△MED是等边三角形， ∴DE＝DM， 有（1）知DM=12BC＝6， ∴DE＝6， ∵N是DE的中点， ∴DN=12DE＝3， ∴MN=DM2-DN2=33． 26．如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF． （1）求证：四边形BFDE是矩形；

（2）已知∠DAB＝60°，AF是∠DAB的平分线，若AD＝4，求▱ABCD的面积． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB，DC＝AB， ∵CF＝AE， ∴CD﹣CF＝AB﹣AE， ∴DF＝BE且DC∥AB， ∴四边形BFDE是平行四边形， 又∵DE⊥AB， ∴∠DEB＝90°， ∴平行四边形BFDE是矩形；

（2）解：∵∠DAB＝60°，AD＝4，DE⊥AB， ∴∠ADE＝30°， ∴AE=12AD＝2，DE=3AE＝23， 由（1）得：四边形DFBE是矩形， ∴BF＝DE＝23，∠ABF＝90°， ∵AF平分∠DAB， ∴∠FAB=12∠DAB＝30°， ∴AB=3BF=3×23=6， ∴▱ABCD的面积＝AB×DE＝6×23=123． 27．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O．AB＝10，AC＝12，BD＝16． （1）求证：▱ABCD是菱形；

（2）若点P是对角线BD上一动点（不与点B、D重合），PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F，PE+PF是否为定值？若是，求出这个定值；
若不是，请说明理由． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝12，BD＝16，AB＝10， ∴AO＝CO=12AC＝6，BO＝DO=12BD＝8， ∵62+82＝102， ∴AO2+BO2＝AB2， ∴∠AOB＝90°， ∴AC⊥BD， ∴▱ABCD是菱形；

（2）解：是定值， 连接OP，过B作BH⊥DA于H， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD＝10，S△ABD=12S菱形ABCD=12×12AC•BD=14×12×16＝48， ∵S△ABD＝S△ABO+S△ADO=12AB•PE+12AD•PF=12AD（PE+PF）=12AD•BH， ∴PE+PF＝BH， ∵S△ABD=12AD•BH=12×10•BH＝48， ∴BH=485， ∴PE+PF=485． 故PE+PF定值为485． 28．如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF． （1）求证：△EBF≌△ABC；

（2）求证：四边形AEFD是平行四边形；

（3）△ABC满足　AB＝AC，∠BAC＝150°　时，四边形AEFD是正方形． 【解答】（1）证明：∵△ABE、△BCF为等边三角形， ∴AB＝BE＝AE，BC＝CF＝FB，∠ABE＝∠CBF＝60°， ∴∠ABE﹣∠ABF＝∠FBC﹣∠ABF， 即∠CBA＝∠FBE， 在△EBF和△ABC中， EB=ABFBE=∠CBABF=BC， ∴△EBF≌△ABC（SAS）；

（2）证明：∵△EBF≌△ABC， ∴EF＝AC， 又∵△ADC为等边三角形， ∴CD＝AD＝AC， ∴EF＝AD＝DC， 同理可得△ABC≌△DFC， ∴AB＝AE＝DF， ∴四边形AEFD是平行四边形；

（3）解：当AB＝AC，∠BAC＝150°时，四边形ADEF是正方形． 理由是：∵△ABE、△ACD为等边三角形， ∴AB＝AE，AC＝AD，∠EAB＝∠DAC＝60°， ∵AB＝AC， ∴AE＝AD， ∵四边形ADEF是平行四边形， ∴四边形ADEF是菱形， ∵∠BAC＝150°， ∴∠EAD＝360°﹣60°﹣60°﹣150°＝90°， ∴平行四边形ADEF是正方形， 故答案为：AB＝AC，∠BAC＝150°． 29．已知边长为2的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（与点A，C不重合），过点P作PE⊥PB，PE交DC于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为点F． （1）求证：PB＝PE；

（2）在点P的运动过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，求出这个不变的值；
若变化，试说明理由． 【解答】（1）证明：过点P作PG⊥BC于G，过点P作PH⊥DC于H，如图1． ∵四边形ABCD是正方形，PG⊥BC，PH⊥DC， ∴∠GPC＝∠ACB＝∠ACD＝∠HPC＝45°． ∴PG＝PH，∠GPH＝∠PGB＝∠PHE＝90°． ∵PE⊥PB，即∠BPE＝90°， ∴∠BPG＝90°﹣∠GPE＝∠EPH． 在△PGB和△PHE中， ∠PGB=∠PHEPG=PH∠BPG=∠EPH， ∴△PGB≌△PHE（ASA）， ∴PB＝PE． （2）解：PE的长度不变． 连接BD，如图2． ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BOP＝90°， ∵PE⊥PB，即∠BPE＝90°， ∴∠PBO＝90°﹣∠BPO＝∠EPF， ∵EF⊥PC，即∠PFE＝90°， ∴∠BOP＝∠PFE， 在△BOP和△PFE中， ∠PBO=∠EPF∠BOP=∠PFEPB=PE， ∴△BOP≌△PFE（AAS）， ∴BO＝PF． ∵四边形ABCD是正方形， ∴OB＝OC，∠BOC＝90°， ∴BC=2OB． ∵BC＝2， ∴OB=2， ∴PF＝OB=2． ∴点P在运动过程中，PF的长度不变，值为2． 30．如图，在正方形ABCD中，P是对角线BD的一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于点F． （1）求证：PC＝PE；

（2）若PD＝DE，求证：BP＝BC． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD，∠ADP＝∠CDP， 在△ADP和△CDP中， AD=CD∠ADP=∠CDPDP=DP， ∴△ADP≌△CDP（SAS）， ∴PA＝PC， ∵PA＝PE， ∴PC＝PE． （2）证明：四边形ABCD为正方形， ∴∠ADC＝∠CDE＝90°， ∴∠E+∠DFE＝90°， ∵PA＝PE， ∴∠PAD＝∠E， 由（1）知△ADP≌△CDP， ∴∠PAD＝∠PCD， ∴∠PCD＝∠E， ∵∠PFC＝∠DFE， ∴∠PCD+∠PFC＝∠E+∠DFE＝90°， ∴∠CPE＝90°， ∴∠BPC+∠DPE＝90°， ∵PD＝DE， ∴∠DPE＝∠E， ∴∠DPE＝∠PCD， ∵∠BCP+∠PCD＝90°， ∴∠BPC＝∠BCP， ∴BP＝BC． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2021/5/14 13:27:40；
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