2021年《高等代数》试题题库

2021年《高等代数》试题题库 一、 选择题 1．在里能整除任意多项式的多项式是（ ）。

．零多项式 ．零次多项式 ．本原多项式 ．不可约多项式 2．设是的一个因式，则（ ）。

．1 ．2 ．3 ．4 3．以下命题不正确的是 （ ）。

. 若；
.集合是数域；

.若没有重因式；

．设重因式，则重因式 4．整系数多项式在不可约是在上不可约的( ) 条件。

. 充分 . 充分必要 .必要 ．既不充分也不必要 5．下列对于多项式的结论不正确的是（ ）。

.如果，那么 .如果，那么 .如果，那么，有 .如果，那么 6． 对于“命题甲：将级行列式的主对角线上元素反号, 则行列式变为；
命题乙：对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( ) 。

.甲成立, 乙不成立；
. 甲不成立, 乙成立；
.甲, 乙均成立；
．甲, 乙均不成立 7．下面论述中, 错误的是( ) 。

. 奇数次实系数多项式必有实根；

. 代数基本定理适用于复数域；

．任一数域包含；

． 在中, 8．设，为的代数余子式, 则=( ) 。

. . . ． 9.行列式中，元素的代数余子式是（ ）。

． ． ． ． 10．以下乘积中（ ）是阶行列式中取负号的项。

.；

.；
．；
. 11. 以下乘积中（ ）是4阶行列式中取负号的项。

.；

.；
．；

. 12. 设阶矩阵，则正确的为（ ）。

. . ． . 13. 设为阶方阵，为按列划分的三个子块，则下列行列式中与等值的是（ ） . . ． . 14. 设为四阶行列式，且，则（ ） . . ． . 15. 设为阶方阵，为非零常数，则（ ） . . ． . 16.设，为数域上的阶方阵，下列等式成立的是（ ）。

.；
. ；

．；

. 17. 设为阶方阵的伴随矩阵且可逆，则结论正确的是（ ） . . ． . 18.如果，那么矩阵的行列式应该有（ ）。

.；

.；

．；

. 19.设, 为级方阵, , 则“命题甲：；
命题乙：”中正确的是( ) 。

. 甲成立, 乙不成立；
. 甲不成立, 乙成立；
．甲, 乙均成立；
.甲, 乙均不成立 20.设为阶方阵的伴随矩阵，则（ ）。

. . ． . 21.若矩阵，满足，则（ ）。

.或；
.且；
．且；
.以上结论都不正确 22.如果矩阵的秩等于，则（ ）。

.至多有一个阶子式不为零；

.所有阶子式都不为零；
．所有阶子式全为零，而至少有一个阶子式不为零；
.所有低于阶子式都不为零 23.设阶矩阵可逆，是矩阵的伴随矩阵，则结论正确的是（ ）。

.；
.；
．；
. 24. 设为阶方阵的伴随矩阵，则=（ ） . . ． . 25.任级矩阵与-, 下述判断成立的是( )。

. ；

.与同解；

.若可逆, 则；
．反对称, -反对称 26.如果矩阵,则 （ ） . 至多有一个阶子式不为零；
.所有阶子式都不为零． 所有阶子式全为零，而至少有一个阶子式不为零；
．所有低于阶子式都不为零 27. 设方阵，满足，则的行列式应该有 （ ）。

. . ． . 28. 是阶矩阵，是非零常数，则 ( )。

. ；

. ；

． . 29. 设、为阶方阵，则有（ ）. .，可逆，则可逆 .，不可逆，则不可逆 ．可逆，不可逆，则不可逆.可逆，不可逆，则不可逆 30. 设为数域上的阶方阵，满足，则下列矩阵哪个可逆（ ）。

. . ． 31. 为阶方阵，，且，则（ ）。

.；

.；

．；
. 32. ，，是同阶方阵，且，则必有（ ）。

. ；

. ；

． ． 33. 设为3阶方阵，且，则（ ）。

.；
.；

．；
. 34. 设为阶方阵，，且，则（ ）. . .或 ． . 35. 设矩阵，则秩=（ ）。

．1 ．2 ．3 ．4 36. 设是矩阵，若（ ），则有非零解。

.；

.；

． . 37. ，是阶方阵，则下列结论成立得是（ ）。

.且；

. ；

．或；

. 38. 设为阶方阵，且，则中（ ）. .必有个行向量线性无关 .任意个行向量线性无关．任意个行向量构成一个极大无关组 .任意一个行向量都能被其他个行向量线性表示 39. 设为矩阵，为矩阵，为矩阵，则下列乘法运算不能进行的是（ ）。

. . ． . 40.设是阶方阵，那么是（ ） . 对称矩阵；

. 反对称矩阵；

．可逆矩阵；

.对角矩阵 41.若由必能推出（均为阶方阵），则 满足( )。

. . ． . 42.设为任意阶可逆矩阵，为任意常数，且，则必有（ ） . . ． . 43.，都是阶方阵，且与有相同的特征值，则（ ） . 相似于；

. ；

． 合同于；

. 44. 设，则的充要条件是（ ） .；

（B）；
． . 45. 设阶矩阵满足，则下列矩阵哪个可能不可逆（ ） . . ． . 46. 设阶方阵满足，则下列矩阵哪个一定可逆（ ） . ；

. ；

． . 47. 设为阶方阵，且，则中（ ）. .必有个列向量线性无关；
.任意个列向量线性无关；
．任意个行向量构成一个极大无关组；
.任意一个行向量都能被其他个行向量线性表示 48.设是矩阵，若（ ），则元线性方程组有非零解。

. .的秩等于 ． .的秩等于 49. 设矩阵，仅有零解的充分必要条件是( ). . 的行向量组线性相关 .的行向量组线性无关 ．的列向量组线性相关 .的列向量组线性无关 50. 设, 均为上矩阵, 则由( ) 不能断言；

. ；
.存在可逆阵与使 ．与均为级可逆；
.可经初等变换变成 51. 对于非齐次线性方程组其中，则以下结论不正确的是（ ）。

.若方程组无解，则系数行列式；
.若方程组有解，则系数行列式。

．若方程组有解，则有惟一解，或者有无穷多解；

.系数行列式是方程组有惟一解的充分必要条件 52. 设线性方程组的增广矩阵是，则这个方程组解的情况是（ ）. .有唯一解 .无解 ．有四个解 .有无穷多个解 53. 为阶方阵,，且，则 （ ）。

.；
.；
．齐次线性方程组有非解；
. 54. 当（ ）时，方程组，有无穷多解。

．1 ．2 ．3 ．4 55. 设线性方程组，则（ ） .当取任意实数时，方程组均有解。.当时，方程组无解。

．当时，方程组无解。.当时，方程组无解。

56. 设原方程组为，且，则和原方程组同解的方程组为( )。

.；
.（为初等矩阵）；
．（为可逆矩阵）；

.原方程组前个方程组成的方程组 57. 设线性方程组及相应的齐次线性方程组，则下列命题成立的是（ ）。

.只有零解时，有唯一解；
.有非零解时，有无穷多个解；
．有唯一解时，只有零解；
. 解时，也无解 58. 设元齐次线性方程组的系数矩阵的秩为，则有非零解的充分必要条件是（ ）。

. . ． . 59. 维向量组 线性无关的充分必要条件是（ ） .存在一组不全为零的数，使 .中任意两个向量组都线性无关 ．中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示 .中任意一个向量都不能由其余向量线性表示 60. 若向量组中含有零向量，则此向量组（ ） .线性相关；

. 线性无关；

．线性相关或线性无关；
.不一定 61．设为任意非零向量，则（ ）。

.线性相关；
.线性无关；
． 线性相关或线性无关；
．不一定 62.维向量组线性无关，为一维向量，则（ ）. .，线性相关；
.一定能被线性表出；

．一定不能被线性表出；

.当时，一定能被线性表出 63. （1）若两个向量组等价，则它们所含向量的个数相同；
（2）若向量组线性无关，可由线性表出，则向量组也线性无关；
（3）设线性无关，则也线性无关；
（4）线性相关，则一定可由线性表出；
以上说法正确的有（ ）个。

.1 个 .2 个 ．3 个 .4个 64．（1）维向量空间的任意个线性无关的向量都可构成的一个基；
（2）设是向量空间中的个向量，且中的每个向量都可由之线性表示，则是的一个基；
（3）设是向量空间的一个基，如果与等价，则也是的一个基；

（4）维向量空间的任意个向量线性相关；
以上说法中正确的有（ ）个。

.1 个 .2 个 ．3 个 .4个 65． 设向量组线性无关。线性相关，则（ ）。

.线性表示；
.线性表示；

．线性表示；

.线性表示 66.设向量组Ⅰ（），Ⅱ（）则必须有（ ）。

.Ⅰ无关Ⅱ无关；

. Ⅱ无关Ⅰ无关；
.Ⅰ无关Ⅱ相关；
.Ⅱ相关Ⅰ相关 67．向量组:与:等价的充要条件为（ ）. .；

.且；
．；
. 68．向量组线性无关Û( ) 。

. 不含零向量；

. 存在向量不能由其余向量线性表出；

．每个向量均不能由其余向量表出；

．与单位向量等价 69.已知则a =( ). .；
.；
．；
. . 70. 设向量组线性无关。线性相关，则（ ）。

.线性表示；
.线性表示；

．线性表示；
.线性表示 71．下列集合中，是的子空间的为（ ），其中 .．. 72． 下列集合有（ ）个是的子空间；

；

；

；

；

73．设是相互正交的维实向量，则下列各式中错误的是（ ）。

.；

.；

．；
. .1 个 .2 个 ．3 个 .4个 74.是阶实方阵，则是正交矩阵的充要条件是（ ）。

.；

.；

． ；

. 75．（1）线性变换的特征向量之和仍为的特征向量；
（2）属于线性变换的同一特征值的特征向量的任一线性组合仍是的特征向量；
（3）相似矩阵有相同的特征多项式；

（4）的非零解向量都是的属于的特征向量；
以上说法正确的有（ ）个。

.1 个 .2 个 ．3 个 . 4个 75. 阶方阵具有个不同的特征值是与对角阵相似的（ ）。

.充要条件；
.充分而非必要条件；
．必要而非充分条件；
.既非充分也非必要条件 76. 对于阶实对称矩阵，以下结论正确的是（ ）。

.一定有个不同的特征根；
.正交矩阵，使成对角形；
．它的特征根一定是整数；
.属于不同特征根的特征向量必线性无关，但不一定正交 77. 设都是三维向量空间的基，且，则矩阵是由基到（ ）的过渡矩阵。

. . ． . 78. 设，是相互正交的维实向量，则下列各式中错误的是（ ）。

. . ． . 二、 填空题 1．最小的数环是 ，最小的数域是 。

2．一非空数集,包含0和1, 且对加减乘除四种运算封闭，则其为 。

3．设是实数域上的映射，，若，则= 。

4．设，若，则= 。

5.求用除的商式为 ，余式为 。

6．设，用除所得的余式是函数值 。

7．设是两个不相等的常数，则多项式除以所得的余式为____ 8．把表成的多项式是 。

9．把表成的多项式是 。

10．设使得，且，，，则 。

11．设使得=____。

12．设使得=___。

13. 若，并且 ，则。

14. 设，则与的最大公因式为 。

15. 多项式、互素的充要条件是存在多项式、使得 。

16. 设为，的一个最大公因式, 则与的关系 。

17. 多项式的最大公因式 。

18. 设。，若，则 ， 。

19．在有理数域上将多项式分解为不可约因式的乘积 。

20．在实数域上将多项式分解为不可约因式的乘积 。

21. 当满足条件 时，多项式才能有重因式。

22. 设是多项式的一个重因式，那么是的导数的一个 。

23. 多项式没有重因式的充要条件是 互素。

24．设的根，其中，则 。

25．设的根，其中，则 = 。

26．设的根，其中，则 。

27．设的根，其中，则 = 。

28. 按自然数从小到大为标准次序，排列的反序数为 。

29．按自然数从小到大为标准次序，排列的反序数为 。

30．排列的反序数为 。

31．排列的反序数为 。

32．排列的反序数为 。

33．排列的反序数为 。

34. 若元排列是奇排列，则_____, _______。

35. 设级排列的反数的反序数为，则= 。

36. 设,则 。

37. 当 ， 时，5阶行列式的项取“负”号。

38. 。

39． 。

40． 。

41． 。

42. _________________。

43． ________________。

44. ， _________________。

45. , 则 ______________________。

46. 设两两不同, 则的不同根为 。

47. =______________。

48．,，则= 。

49. 设行列式中，余子式，则＝__________。

50. 设行列式中，余子式，则＝__________。

51. 设，则 。

52行列式 的余子式的值为 。

53.设，,则 ____________。

54．设，,则____________。

55．设， ,则 ____________。

56. 设，，则＝_____________。

57. 设，则＝_____________。

58．设矩阵可逆，且，则的伴随矩阵的逆矩阵为 。

59．设、为阶方阵，则的充要条件是 。

60．一个级矩阵的行（或列）向量组线性无关，则的秩为 。

61. 设、都是可逆矩阵，若，则 。

62. 设，则 。

63. 设，则 。

64. 设矩阵，且,则。

65. 设为阶矩阵，且,则 ______________。

66. ,则________________。

67.,则________________。

68. 已知其中，则_________________。

69. 若为级实对称阵，并且，则= 。

70. 设为阶方阵，且，则 ， ，的伴随矩阵的行列式 。

71. 设，是的伴随矩阵，则= 。

72. 设，是的伴随矩阵，则= 。

73. ____________。

74. 设为阶矩阵，且,则 ____________。

75. 为阶矩阵，，则=（ ）。

76. 设,则____________。

77. 是同阶矩阵，若,必有，则应是 _____。

78. 设，则的充要条件是 。

79.一个齐次线性方程组中共有个线性方程、个未知量，其系数矩阵的秩为，若它有非零解，则它的基础解系所含解的个数为 。

80.含有个未知量个方程的齐次线性方程组有非零解的充分且必要条件是 。

81.线性方程组有解的充分必要条件是 。

82. 方程组有解的充要条件是 。

83. 方程组有解的充要条件是 。

84. 是矩阵，对任何矩阵，方程都有解的充要条件是_______。

85．已知向量组，，， ，则向量 。

86.若，则向量组必线性 。

87.已知向量组，，， ，则该向量组的秩是 。

88. 若可由唯一表示, 则线性 。

89. 单个向量线性无关的充要条件是_____________。

90. 设为维向量组, 且，则 。

91. 个维向量构成的向量组一定是线性 的。（无关，相关） 92.已知向量组线性无关，则 _______。

93. 向量组的极大无关组的定义是___________。

94. 设两两不同, 则线性 。

95.二次型的矩阵是____________. 96. 是正定阵，则满足条件__________________。

97 . 当满足条件 ，使二次型是正定的。

98. 设阶实对称矩阵的特征值中有个为正值，有为负值，则的正惯性指数和负惯性指数是 。

99. 相似于单位矩阵，则 = _______________。

100. 相似于单位阵， 。

101. 矩阵的特征值是____________。

102. 矩阵的特征值是____________。

103. 设为3阶方阵，其特征值为3，—1，2，则 。

104.满足，则有特征值______________________。

105. 设阶矩阵的元素全为，则的个特征值是 。

106. 设矩阵是阶零矩阵，则的个特征值是 。

107. 如果A的特征值为，则的特征值为 。

108. 设是的任意向量，映射是否是到自身的线性映射 。

109. 设是的任意向量，映射是否是到自身的线性映射 。

110. 若线性变换关于基的矩阵为，那么线性变换关于基的矩阵为 。

111. 对于阶矩阵与，如果存在一个可逆矩阵U,使得 ，则称与是相似的。

112.实数域R上的n阶矩阵Q满足 ，则称Q为正交矩阵。

113.实对称矩阵的属于不同特征根的特征向量是彼此 。

114. 复数域作为实数域上的向量空间，则_____，它的一个基为____。

115. 复数域作为复数域上的向量空间，则____，它的一个基为_____。

116. 复数域作为复数域上的向量空间，则___________。

117. 设是数域上的3维向量空间，是的一个线性变换，是的一个基，关于该基的矩阵是，，则关于的坐标是____________。

118. 设是向量空间的一个基，由该基到 的过渡矩阵为___________________。

119. 设是向量空间的一个基，由该基到 的过渡矩阵为__________。

120. 设与都是上的两个有限维向量空间，则 。

121. 数域F上任一维向量空间都却与 。（不同构，同构） 122. 任一个有限维的向量空间的基是____的，但任两个基所含向量个数是_____。

123. 令是数域上一切满足条件的阶矩阵所成的向量空间，则= 。

124. 设为变换，为欧氏空间，若都有，则 为 变换。

125. 在 。

126. 在欧氏空间里的长度为__ _ __。

127. 在欧氏空间里的长度为_________。

128. 设是欧氏空间，则是正交变换 。

129. 设，则在= 。

三、计算题 1.把按的方幂展开. 2．利用综合除法，求用去除所得的商及余式。，。

3．利用综合除法，求用去除所得的商及余式。，。

4.已知 ,求被除所得的商式和余式。

5.设，求的最大公因式。

6．求多项式与的最大公因式． 7. 求多项式，的最大公因式，以及满足等式的和。

8.求多项式，的最大公因式，以及满足等式的和。

9.令是有理数域，求出的多项式，的最大公因式，并求出使得。

10. 令是有理数域，求的多项式 的最大公因式。

11. 设，，求出 ，使得。

12.已知，求 。

13.在有理数域上分解多项式为不可约因式的乘积。

14.应该满足什么条件，有理系数多项式才能有重因式。

15.求多项式的有理根。

16.求多项式的有理根。

17．求多项式的有理根。

18.求多项式的有理根。

19.求多项式的有理根。

20.求多项式的有理根。

21.求一个二次多项式，使得：。

22.问取何值时，多项式，有实根。

23.用初等对称多项式表示元对称多项式。

24.用初等对称多项式表示元对称多项式。

25.请把元对称多项式表成是初等对称多项式的多项式。

26.求行列式的值。

27.求行列式 的值。

28.求行列式 的值。

29.求行列式的值。

30.求行列式的值。

31.求行列式的值。

32.求行列式的值。

33.求行列式的值。

34.把行列式 依第三行展开然后加以计算。

35.求行列式的值。

36.求行列式的值。

37.求行列式的值。

38.求行列式的值。

39.计算阶行列式 40.计算阶行列式 41. 计算阶行列式 42. 计算阶行列式 43. 计算阶行列式 44. 计算阶行列式 45. 计算阶行列式 46.计算阶行列式 47.计算阶行列式() 48.计算阶行列式 (其中) 49.计算阶行列式 50.计算阶行列式 51.计算阶行列式 52.计算阶行列式 53.计算阶行列式 54.计算阶行列式 55.解方程。

56.解方程。

57.解方程。

58.解方程。

59.设为矩阵，，把按列分块为。其中是的第列。求（1）；
（2）。

60. ）____________________已知,，试求：① ；
②。

61.已知，求 62.设=，，求。

63.设=，已知,求。

64.求矩阵的秩。

65.求矩阵=的秩。

66.求矩阵=的秩。

67.求矩阵=的秩。

68.求矩阵=的秩。

69.求矩阵的逆矩阵。

70.求矩阵的逆矩阵。

71.求矩阵的逆矩阵。

72.求矩阵的逆矩阵。

73.设，给出可逆的充分必要条件，并在可逆时求其逆． 74.设矩阵，问矩阵是否可逆？若可逆，求出。

75.设矩阵，问矩阵是否可逆？若可逆，求出。

76.设矩阵，判断是否可逆？若可逆，求。

77.设，请用两种方法（行初等变换，伴随矩阵）求 。

78.已知矩阵=, 用矩阵的初等变换求的逆矩阵。

79.已知矩阵=，用矩阵的初等变换求的逆矩阵。

80.设为三阶矩阵，为的伴随矩阵，已知=，求(1) 的值；

(2) 的值。

81.设为阶方阵，，判断与是否一定可逆，如果可逆，求出其逆。

82.设矩阵=，求矩阵, 使得。

83.用求逆矩阵的方法解矩阵方程。

84. 解矩阵方程。

85.解矩阵方程。

86.解矩阵方程 87.解矩阵方程 88.求解矩阵方程 ）____________________89.判断齐次线性方程组是否有非零解？ 90.用求逆矩阵的方法解线性方程组 91.用求逆矩阵的方法解线性方程组 92.用克莱姆法则解线性方程组 （其中 93 ）____________________444.用克莱姆法则解线性方程组（其中） 94.用克莱姆规则解方程组 95.讨论取何值时，方程组有解，并求解。

96.讨论取什么值时，方程组有解，并求解。

97.选择，使方程组无解。

98.确定的值，使齐次线性方程组有非零解。

）____________________5252552298.取何值时，齐次线性方程组有非零解？ 99.齐次线性方程组有非零解，则为何值？ 100.问，取何值时，齐次线性方程组有非零解？ 101. 问取何值时，非线性方程组 有无限多个解？ 102.齐次线性方程组有非零解，则应满足什么条件？ 103.确定的值，使线性方程组无解？有惟一解？有无穷多解？ 104 ）____________________515.取怎样的数值时，线性方程组有解，并求出一般解。

105.问当取何值时，线性方程组有唯一解？无解？有无穷多解？并在有解时写出解。

106.问取何值时，线性方程组有唯一解？无解？有无穷多解？并在有解时写出解。

107.设线性方程组为讨论为何值时，下面线性方程组有唯一解？无解？有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解（要求用导出组的基础解系及它的特解形式表示其通解）。

108.设非齐次线性方程组为试问:取何值时，方程组无解？有唯一的解？有无穷多个解？有解时请求出解。

109.设非齐次线性方程组为试问: 取何值时，方程组无解？有唯一的解？有无穷多个解？当有解时请求出解来。

110.求线性齐次方程组的基础解系。

111.求线性齐次方程组的基础解系。

112.求线性齐次方程组的基础解系。

113.求线性齐次方程组的基础解系。

114.求线性齐次方程组 的基础解系。

115.求线性齐次方程组的基础解系。

116.求齐次线性方程组 的基础解系。

117.求齐次线性方程组的通解。

118.求齐次线性方程组的通解。

119.求非齐次线性方程组的通解。

120.求非齐次线性方程组的通解。

121.问下列向量组是否线性相关？ （1）（3，1，4），（2，5，-1），（4，-3，7）；
（2）（2，0，1），（0，1，-2），（1，-1，1） 122.判别向量组=(0,0,2,3), =(1,2,3,4)，=(1,2,1,1)，=(1,0,1,0)是否线性相关，并求,,,的一个极大线性无关组。

123.求向量组，，的一个极大线性无关组，并将其余向量表为该极大线性无关组的线性组合。

124.求向量组，，，，的极大无关组, 并求出组中其余向量被该极大无关组线性表出的表达式。

125.已知向量组（Ⅰ）,(Ⅱ) ,(Ⅲ) ，若各向量组的秩分别为(Ⅰ) = (Ⅱ) = 3 , (Ⅲ) = 4 ,证明向量组（Ⅳ）：的秩为4。

126.设矩阵，求矩阵的列向量组的一个最大无关组。

127.已知向量,,线性相关，求的值。

128.设矩阵,其中线性无关，，向量 求方程的解。

129.判断实二次形10是不是正定的。

130.取什么值时, 实二次形是正定的。

131.取何值时，实二次型是正定的？ 132.取何值时，二次型正定。

133.取何值时，二次型正定。

134.取何值时，二次型正定。

135.求一个正交变换把二次型化为只含有平方项的标准形。

136.求一个正交变换把二次型化为只含有平方项的标准形。

137.将二次型化为规范形，并指出所用的线性变换。

138.用正交线性替换化实二次型为典范形，并求相应的正交阵。

139.已知向量组=(1,1,0,-1), =(1,2,3,4)，=(1,2,1,1)，=(2,4,2,2)，试求它们的生成子空间(, , , )的维数和一个基。

140.求的特征值。

141.求的特征值。

142.求的特征值。

143.求矩阵的特征根和相应的特征向量。

144.设，求一个正交矩阵为对角形矩阵。

145.设，求一个正交矩阵为对角形矩阵。

146.设，用初等变换求一可逆矩阵是对角形式。

147.设，用初等变换求一可逆矩阵是对角形式。

148.设,求可逆矩阵, 使是对角形矩阵。

149.设，求一个正交矩阵，使是对角矩阵。

150.设矩阵与相似，求。

151.,，求关于基的坐标。

）____________________66152.已知是线性空间的一组基，求向量在基下的坐标。

153.设中的两个基分别为,，（1）求由基的过渡矩阵。

（2）已知向量在基下的坐标为，求在基下的坐标。

154.已知是的一个基，求在该基下的坐标。

155.已知是的一个基，求在该基下的坐标。

156.考虑中以下两组向量；

，证明和都是的基。并求出由基到的过渡矩阵。

157.设上三维向量空间的相性变换关于基的矩阵是,求关于基 的矩阵。

158.中的两向量组 ， （1）证明它们都是的基，（2）并求第一个基到第二个基的过渡矩阵， （3）如果在基下的坐标为（3，1，2），求在基下的坐标。

159．设在标准欧几里得空间中有向量组， , ，求的一个基与维数。

四、判断题 1.判断中的子集是否为子空间。

2. 判断中的子集是否为子空间。

3.判断中的子集是否为子空间。

4.判断的向量是否线性相关。

5. 判断的向量是否线性相关。

6.判断的向量的线性相关性。

7.若整系数多项式在有理数域可约，则一定有有理根。（ ） 8.若、均为不可约多项式，且，则存在非零常数，使得 。（ ） 9.对任一排列施行偶数次对换后，排列的奇偶性不变。（ ） 10.若矩阵的所有级的子式全为零，则的秩为。（ ） 11.若行列式中所有元素都是整数，且有一行中元素全为偶数，则行列式的值一定是偶数。（ ） 12.若向量组（）线性相关，则存在某个向量是其余向量的线性组合。（ ） 13.若两个向量组等价，则它们所包含的向量的个数相同。（ ） 14.若矩阵、满足，且，则。（ ） 15.称为对称矩阵是指．若与都是对称矩阵，则也是对称矩阵。（ ） 16.设级方阵、、满足，为单位矩阵，则。（ ） 17.若 是方程的一个基础解系，则是的属于的全部特征向量，其中是全不为零的常数。（ ） 18.、有相同的特征值，则与相似。（ ） 19.若无有理根，则在上不可约。（ ） 20.两个本原多项式的和仍是本原多项式。（ ） 21.对于整系数多项式，若不存在满足艾森施坦判别法条件的素数，那么不可约。（ ） 三、简要回答 1．设, , , 若, 则 成立吗？为什么？ 2.设, 则当满足何条件时, ？ ？为什么？ 3．若与均相关, 则相关吗？为什么？ 4．若、均为级阵, 且≌, 则与的行向量组等价吗？为什么？ 五、证明题 1.证明：两个数环的交还是一个数环。

2．证明：是一个数环。

3．证明：是一个数域。

4.证明：, 是映射，又令，证明：如果是单射，那么也是单射。

5.若, 则, 。

6.令都是数域上的多项式,其中且 , ，证明: 。

7.和是数域F上的两个多项式。证明：如果整除，即：，并且，那么。

8.设，。证明：如果，且和不全为零，则。

9.设是中次数大于零的多项式，若只要 就有或，则不可约。

10.设，证明：如果，那么对，都有 。

11.设是多项式的一个重因式，那么是的导数的一个重因式。

12.设，且，对于任意的，则有 。

13.设，试证：（1）；

（2） 14.试证：。

15.设，．（1）计算及；

（2）证明：可逆的充分必要条件是；

（3）证明：当时，不可逆。

16.若阶矩阵满足，证明可逆，并求。

17.若阶矩阵满足，证明可逆，并求 18.设阶方阵的伴随方阵为,证明：若。

19.设是阶可逆矩阵,证明: (1) ；

(2) 乘积可逆。

20.证明:一个可逆矩阵可通过行初等变换化为单位矩阵。

21.证明：1）若向量组线性无关，则它们的部分向量组也线性无关。

2）若向量组中部分向量线性相关，则向量组必线性相关。

22. 已知为阶方阵，为的伴随阵，，则的秩为1或0。

23. 设为阶阵，求证，。

24.设是一个阶方阵，其中分别是阶，阶可逆阵，， （1）证明 ，（2）设 ，求 。

25.设阶可逆方阵的伴随方阵为,证明：. 26.已知阶方阵可逆，证明：的伴随方阵也可逆,且。

27.设，均为阶方阵，证明：
28.令是阶矩阵的伴随矩阵，试证：（1）；

（2）。

29．设，，，都是阶矩阵，其中并且，证明：。

30.已知方阵满足，试证：可逆，并求出。

31.设是一个秩为的矩阵，证明：存在一个秩为的矩阵，使 。

32.证明：设是正定矩阵，证明也是正定的。

33.证明：正定对称矩阵的主对角线上的元素都是正定的。

34.设是一个正交矩阵，证明：(1) 的行列等于或；
（2）的特征根的模等于；

（3）的伴随矩阵*也是正交矩阵。

35.设是一个正交矩阵，且，证明：①有一个特征根等于。②的特征多项式有形状,这里。

36.设矩阵满足，为阶单位阵，，证明是对称阵，且。

37.设向量组线性无关，而向量组线性相关，证明：可以由线性表出，且表示法唯一。

38.证明向量（）线性相关必要且只要其中某一个向量是其余向量的线性组合。

39.设向量可由向量组线性表示，证明表法唯一的充要条件是线性无关。

40.设在向量组中，并且每一都不能表成它的前个向量的线性组合，证明线性无关。

41.不含零向量的正交向量组是线性无关的。

42.证明向量（）线性相关必要且只要其中某一个向量是其余向量的线性组合。

43.设向量组线性无关,而线性相关,那么一定可以由相性表示。

44.设线性无关，证明也线性无关。

45.设向量组线性无关，且 证明线性无关的一个充要条件是 46.设,,,,证明向量组线性相关 47.已知，，试证向量组能用，线性表示。

48.设是非齐次线性方程组的个解，,,…,为实数，且，证明也是它的解。

49. 设是非齐次线性方程组的一个解，是对应的齐次线性方程组的一个基础解系,证明：, 线性无关。

50. 设是非齐次线性方程组的一个解，是对应的齐次线性方程组的一个基础解系,证明：, 线性无关。

51.设是向量空间的两个子空间，那么它们的交也是的一个子空间。

52.设是向量空间的两个子空间，那么它们的交也是的一个子空间。

53.（维数定理）设都是数域上的向量空间的有限维子空间，那么也是有限维的，并且。

54.个变量的二次型的一切主子式都大于零，则是正定的。

55.设是三维欧氏空间的一个标准正交基，试证：
也是的一个标准正交基。

56．设是线性变换的两个不同特征值，x1，x2是分别属于的特征向量，都是非零常数，证明：向量不是的特征向量。

57．设的特征值为，如果可逆，证明：的特征值为。

58.令是数域上向量空间的一个线性变换，如果 分别是的属于互不相同的本征值的本征向量，证明线性无关。

59. 令是数域上向量空间的一个线性变换，如果分别是的属于互不相同的特征值的特征向量，那么线性无关。

60.设是维欧氏空间的一个线性变换，如果是正交变换又是对称变换，证明是单位变换。

61.设是维欧氏空间的一个线性变换，如果是对称变换，且是单位变换。证明是正交变换。

62.证明:两个对称变换的和还是一个对称变换, 两个对称变换的乘积是不是对称变换?找出两个对称变换的乘积是对称变换的一个充要条件. 63.设是维欧氏空间的一个线性变换，证明，如果满足下列三个条件中的任意两个，那么它必然满足第三个：（i）是正交变换，（ii）是对称变换，（iii）是单位变换。

64.证明，一个正交变换的逆变换还是一个正交变换。

65.令是数域上向量空间的一个线性变换，如果的特征多项式的根都在内；
对于的特征多项式的每一根，本征子空间的维数等于的重数，证明：可以对角化。

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