北师大版七年级数学下册《第5章生活中的轴对称》优生自主提升训练

2021年北师大版七年级数学下册《第5章生活中的轴对称》优生自主提升训练（附答案） 1．如图，在△ABC中AB＝AC，BC＝4，面积是20，AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于E、F点，若点D为BC边的中点，点M为线段上一动点，则△CDM周长的最小值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 2．元旦联欢会上，同学们玩抢凳子游戏，在与A、B、C三名同学距离相等的位置放一个凳子，谁先抢到凳子谁获胜．如果将A、B、C三名同学所在位置看作△ABC的三个顶点，那么凳子应该放在△ABC的（　　） A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高的交点 D．三边垂直平分线的交点 3．如图，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，点O是AC、BC的垂直平分线的交点，连接AO、BO，若∠AIB＝α，则∠AOB的大小为（　　） A．α B．4α﹣360° C．α+90° D．180°﹣α 4．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，BC＝10，CD＝6，则点D到AC的距离为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 5．等腰三角形一边的长为4cm，周长是18cm，则底边的长是（　　） A．4cm B．10cm C．7或10cm D．4或10cm 6．如果等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，那么这个等腰三角形的底角为（　　） A．22.5° B．67.5° C．67° 50＇ D．22.5°或67.5° 7．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝2，则BF的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 8．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的的面积等于（　　） A．4 B．5 C．7 D．10 9．如图，在等腰△ABC中，∠ABC＝118°，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，BC的垂直平分线PQ交BC于点P，交AC于点Q，连接BE，BQ，则∠EBQ＝（　　） A．65° B．60° C．56° D．50° 10．如图，在△ABC中，AC＝AB，△ABC的角平分线AD交BE于点F，若∠AFE＝32°，则∠FBD＝　 　°． 11．如图，线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠1＝39°，则∠AOC＝　 　． 12．如图，已知△ABC的周长是15，点F，G分别是AC，BC上的点，将△CFG沿着直线FG折叠，点C落在点C′处，且点C′在三角形的外部，则阴影部分图形的周长是　 　． 13．如图所示，∠AOB＝60°，点P是∠AOB内一定点，并且OP＝2，点M、N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，当△PMN的周长取最小值时，点O到线段MN的距离为　 　． 14．如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥BC于点E，若AB＝5，BC＝7，S△ABC＝12，则DE的长为　 　． 15．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D和点A在直线BC的同侧，BD＝BC，∠BAC＝82°，∠DBC＝38°，连接AD、CD，则∠ADB的度数为　 　． 16．顶角为锐角的等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则该三角形的底角为　 　． 17．如图，已知△ABC中，∠BAC＝135°，现将△ABC进行折叠，使顶点B、C均与顶点A重合，则∠DAE的度数为　 　． 18．如图，CE、CB分别是△ABC和△ADC的中线，且AC＝AB，则下列结论中：①BC＝BD；
②∠ECB＝∠BCD；
③∠ACE＝∠BDC；
④CD＝2CE．正确结论的序号为　 　． 19．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DE，∠BAD＝20°，∠EDC＝10°，则∠ADE＝　 　． 20．如图，△ABC中，AB＝6cm，AC＝8cm，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，则△ABD的周长为　 　． 21．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝50°，在BC、CD边上分别找到点M、N，当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数为　 　． 22．已知，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D为射线CB上一点，过点D作DE⊥AC于点E． （1）如图1，当点D在线段BC上时，请直接写出∠BAC与∠EDC的数量关系：　 　． （2）如图2，当点D在CB的延长线上时，画出图形，探究∠BAC与∠EDC的数量关系，并说明理由． （3）在（2）的条件下，点F为线段BC上一点，过点F作FG⊥AC于点G，连接AF，且∠AFG＝∠CFG，∠BAF＝∠BFA，延长ED、AB交于点K，求∠EKA的度数． 23．如图，在等边三角形ABC中，D是AB上的一点，E是CB延长线上一点，连接CD、DE，已知∠EDB＝∠ACD． （1）求证：△DEC是等腰三角形． （2）当∠BDC＝5∠EDB，EC＝8时，求△EDC的面积． 24．如图，直角三角形纸片ABC中，∠C＝90°，将纸片沿EF折叠，使得A点落在BC上点D处，连接DE，DF．△CDE中有两个内角相等． （1）若∠A＝50°，求∠BDF的度数；

（2）若△BDF中也有两个内角相等，求∠B的度数． 25．如图，点P是∠AOB外的一点，点Q与P关于OA对称，点R与P关于OB对称，直线QR分别交OA、OB于点M、N，若PM＝PN＝4，MN＝5． （1）求线段QM、QN的长；

（2）求线段QR的长． 26．如图，△ABC的角平分线AE，BF交于O点． （1）若∠ACB＝70°，则∠BOA＝　 　；

（2）求证：点O在∠ACB的角平分线上． （3）若OE＝OF，求∠ACB的度数． 27．如图，在正方形网格中，点A、B、C、M、N都在格点上． （1）作△ABC关于直线MN对称的图形△A＇B＇C＇． （2）若网格中最小正方形的边长为1，求△ABC的面积． （3）点P在直线MN上，当△PAC周长最小时，P点在什么位置，在图中标出P点． 28．已知△ABC，∠ABC＝80°，点E在BC边上，点D是射线AB上的一个动点，将△BDE沿DE折叠，使点B落在点B＇处． （1）如图1，若∠ADB＇＝125°，求∠CEB＇的度数；

（2）如图2．试探究∠ADB＇与∠CEB＇的数量关系，并说明理由；

（3）连接CB＇，当CB＇∥AB时，直接写出∠CB＇E与∠ADB＇的数量关系为　 　． 参考答案 1．解：连接AD，AM． ∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点， ∴AD⊥BC， ∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝20，解得AD＝10， ∵EF是线段AC的垂直平分线， ∴点C关于直线EF的对称点为点A， ∴MA＝MC， ∵AD≤AM+MD， ∴AD的长为CM+MD的最小值， ∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝10+×4＝10+2＝12． 故选：D． 2．解：∵三角形的三条垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等， ∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最合适． 故选：D． 3．解：连接CO并延长至D， ∵∠AIB＝α， ∴∠IAB+∠IBA＝180°﹣α， ∵AI平分∠BAC，BI平分∠ABC， ∴∠IAB＝∠CAB，∠IBA＝∠CBA， ∴∠CAB+∠CBA＝2（∠IAB+∠IBA）＝360°﹣2α， ∴∠ACB＝180°﹣（∠CAB+∠CBA）＝2α﹣180°， ∵点O是AC、BC的垂直平分线的交点， ∴OA＝OC，OB＝OC， ∴∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC， ∵∠AOD是△AOC的一个外角， ∴∠AOD＝∠OCA+∠OAC＝2∠OCA， 同理，∠BOD＝2∠OCB， ∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝2∠OCA+2∠OCB＝4α﹣360°， 故选：B． 4．解：∵BC＝10，CD＝6， ∴BD＝BC﹣CD＝10﹣6＝4， △ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC， ∴点D到AC的距离＝BD＝4． 故选：A． 5．解：分情况考虑：
①当4cm是腰时，则底边长是18﹣8＝10（cm），此时4，4，10不能组成三角形，应舍去；

②当4cm是底边时，腰长是（18﹣4）×＝7（cm）， 4，7，7能够组成三角形．此时底边的长是4cm． 故选：A． 6．解：有两种情况；

（1）如图1，当△ABC是锐角三角形时，BD⊥AC于D， 则∠ADB＝90°， 已知∠ABD＝45°， ∴∠A＝90°﹣45°＝45°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝×（180°﹣45°）＝67.5°， （2）如图2，当△EFG是钝角三角形时，FH⊥EG于H，则∠FHE＝90°， ∵∠HFE＝45°， ∴∠HEF＝90°﹣45°＝45°， ∴∠FEG＝180°﹣45°＝135°， ∵EF＝EG， ∴∠EFG＝∠G，＝×（180°﹣135°），＝22.5°．故选：D． 7．解：∵△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC， ∴AD是△ABC的中线， ∴S△ABC＝2S△ABD＝2×AB•DE＝AB•DE＝2AB， ∵S△ABC＝AC•BF， ∴AC•BF＝2AB， ∵AC＝AB， ∴BF＝2， ∴BF＝4， 故选：B． 8．解：过E作EF⊥BC于点F， ∵CD是AB边上的高，BE平分∠ABC， ∴EF＝DE＝2， ∴S△BCE＝BC•EF＝×5×2＝5， 故选：B． 9．解：等腰△ABC中，∠ABC＝118°， ∴∠A＝∠C＝31°， ∵AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，BC的垂直平分线PQ交BC于点P，交AC于点Q， ∴EA＝EB，QB＝QC， ∴∠ABE＝∠QBC＝∠A＝∠C＝31°， ∴∠EBQ＝∠ABC﹣∠ABE﹣∠QBC＝118°﹣31°﹣31°＝56°， 故选：C． 10．解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°， ∵∠AFE＝32°， ∴∠BFD＝32°， ∴∠FBD＝90°﹣32°＝58°， 故答案为：58． 11．解：解法一：连接BO，并延长BO到P， ∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O， ∴AO＝OB＝OC，∠BDO＝∠BEO＝90°， ∴∠DOE+∠ABC＝180°， ∵∠DOE+∠1＝180°， ∴∠ABC＝∠1＝39°， ∵OA＝OB＝OC， ∴∠A＝∠ABO，∠OBC＝∠C， ∵∠AOP＝∠A+∠ABO，∠COP＝∠C+∠OBC， ∴∠AOC＝∠AOP+∠COP＝∠A+∠ABC+∠C＝2×39°＝78°；

解法二：
连接OB， ∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O， ∴AO＝OB＝OC， ∴∠AOD＝∠BOD，∠BOE＝∠COE， ∵∠DOE+∠1＝180°，∠1＝39°， ∴∠DOE＝141°，即∠BOD+∠BOE＝141°， ∴∠AOD+∠COE＝141°， ∴∠AOC＝360°﹣（∠BOD+∠BOE）﹣（∠AOD+∠COE）＝78°；

故答案为：78°． 12．解：∵将△CFG沿着直线FG折叠，点C落在点C′处， ∴CF＝C＇F，CG＝C＇G， 则阴影部分图形的周长＝AB+AF+BG+C′F+C′G ＝AB+AF+BG+CF+CG ＝AB+BC+AC ＝△ABC的周长 ＝15；

故答案为：15． 13．解：作点P关于OB的对称点P＇，点P关于OA的对称点P＇＇，连接P＇P＇＇与OA，OB分别交于点M与N 则P＇P＇＇的长即为△PMN周长的最小值， 连接OP＇，OP＇＇，过点O作OC⊥P＇P＇＇于点C 由对称性可知OP＝OP＇＝OP＇＇， ∵OP＝2，∠AOB＝60°， ∴∠P＇＝∠P＇＇＝30°，OP′＝OP＇＇＝2， ∴OC＝＝1；

故答案为1． 14．解：作DF⊥AB于F， ∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB， ∴DE＝DF， ∴×AB×DF+×BC×DE＝S△ABC，即×5×DE+×7×DE＝12， 解得，DE＝2， 故答案为：2． 15．解：如图，作∠AB D′＝∠ABD，B D′＝BD，连接CD′，AD′， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠BAC＝82°， ∴∠ABC＝49°， ∵∠DBC＝38°， ∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝11°， ∵在△ABD和△ABD′中，， ∴△ABD≌△ABD′（SAS）， ∴∠ABD＝∠ABD′＝11°，∠ADB＝∠AD′B，AD＝AD′， ∴∠D′BC＝∠ABD′+∠ABC＝11+49°＝60°， ∵BD＝BD′，BD＝BC， ∴BD′＝BC， ∴△D′BC是等边三角形， ∴D′B＝D′C，∠BD′C＝60°， 在△AD′B和△AD′C中， ， ∴△AD′B≌△AD′C（SSS）， ∴∠AD′B＝∠AD′C＝∠BD′C＝30°， ∴∠ADB＝30°， 故答案为：30°． 16．解：如图1， ∵△ABC是等腰三角形，BD⊥AC，∠ADB＝90°，∠ABD＝50°， ∴在直角△ABD中，∠A＝90°﹣50°＝40°， ∴∠C＝∠ABC＝＝70°． 故答案为：70°． 17．解：如图，∵∠BAC＝135°， ∴∠B+∠C＝180°﹣135°＝45°；

由折叠的性质得：∠B＝∠DAB（设为α），∠C＝∠EAC（设为β）， 则α+β＝45°，∠ADE＝2α，∠AED＝2β， ∴∠DAE＝180°﹣2（α+β）＝180°﹣90°＝90°， 故答案为：90°． 18．解：取DC的中点F，连接BF，则CD＝2CF， ∵B为AD的中点， ∴BF为△ACD的中位线， ∴BF∥AC，AC＝2BF， ∴∠CBF＝∠ACB， ∵AB＝AC，E为AB的中点， ∴AE＝BE＝BF，∠ABC＝∠ACB＝∠CBF， ∵CB＝CB， ∴△CEB≌△CFB（SAS）， ∴CE＝CF，∠ECB＝∠BCD，故②正确；

∴CD＝2CE，故④正确；

∵∠ABC＝∠ACB，∠ACB＝∠BDC+∠BCD，∠ABC＝∠ACE+∠ECB， ∴∠ACE+∠ECB＝∠BDC+∠BCD， ∵∠ECB＝∠BCD， ∴∠ACE＝∠BDC，故③正确；

根据已知条件无法证明BC＝BD，故①错误． 故答案为②③④． 19．解：∵AD＝DE， ∴∠DAE＝∠DEA， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C，设∠B＝∠C＝x，则∠DAE＝∠DEA＝∠C+∠EDC＝x+10°， ∵∠BAC+∠B+∠C＝180°， ∴20°+10°+x+2x＝180°， ∴x＝50°， ∴∠DAE＝∠DEA＝60°， ∴∠ADE＝60°， 故答案为60°． 20．解：∵BC的垂直平分线l与AC相交于点D， ∴BD＝CD， ∵AB＝6cm，AC＝8cm， ∴△ABD的周长为AB+BD+AD＝AB+CD+AD＝AB+AC＝6+8＝14（cm）， 故答案为：14cm． 21．解：如图，作点A关于BC的对称点A′，关于CD的对称点A″， 连接A′A″与BC、CD的交点即为所求的点M、N， ∵∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°， ∴∠BAD＝130° ∴∠A′+∠A″＝180°﹣130°＝50°， 由轴对称的性质得：∠A′＝∠A′AM，∠A″＝∠A″AN， ∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″）＝2×50°＝100°． 故答案为100°． 22．（1）如图1中，作AH⊥BC于H． ∵AB＝AC，AH⊥BC， ∴∠BAH＝∠CAH， ∵DE⊥AC， ∴∠AHC＝∠CED＝90°， ∴∠C+∠CAH＝90°，∠C+∠EDC＝90°， ∴∠CAH＝∠EDC， ∴∠BAC＝2∠EDC． 故答案为∠BAC＝2∠EDC． （2）如图2中，结论：∠BAC＝2∠EDC． 理由：∵AB＝AC，AH⊥BC， ∴∠BAH＝∠CAH， ∵DE⊥AC， ∴∠AHC＝∠CED＝90°， ∴∠C+∠CAH＝90°，∠C+∠EDC＝90°， ∴∠CAH＝∠EDC， ∴∠BAC＝2∠EDC． （3）如图2中，设∠C＝∠FAC＝∠ABC＝x，则∠BAF＝∠BFA＝2x， ∴5x＝180°， ∴x＝36°， ∴∠EAK＝∠ABC+∠C＝72°， ∵KE⊥EC， ∴∠E＝90°， ∴∠EKA＝90°﹣72°＝18°． 23．（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵∠E+∠EDB＝∠ABC＝60°，∠ACD+∠DCB＝60°，∠EDB＝∠ACD， ∴∠E＝∠DCE， ∴DE＝DC， ∴△DEC是等腰三角形；

（2）解：设∠EDB＝α，则∠BDC＝5α， ∴∠E＝∠DCE＝60°﹣α， ∴6α+60°﹣α+60°﹣α＝180°， ∴α＝15°， ∴∠E＝∠DCE＝45°， ∴∠EDC＝90°， 如图，过D作DH⊥CE于H， ∵△DEC是等腰直角三角形， ∴∠EDH＝∠E＝45°， ∴EH＝HC＝DH＝EC＝8＝4， ∴△EDC的面积＝EC•DH＝8×4＝16． 24．解：（1）∵∠C＝90°，且△CDE中有两个内角相等， ∴∠CED＝∠CDE＝45°， ∵△EDF是由△EAF翻折得到，∠A＝50°， ∴∠EDF＝∠A＝50°， ∴∠BDF＝180°﹣∠CDE﹣∠EDF＝180°﹣45°﹣50°＝85°；

（2）设∠EDF＝∠EAF＝x°， ∴∠BDF＝180°﹣45°﹣x°＝（135﹣x）°，∠B＝（90﹣x）°， ∴∠BFD＝180°﹣（135﹣x）°﹣（90﹣x）°＝（2x﹣45）°， ∵△BDF中有两个内角相等，可分三种情况讨论：
①当∠BDF＝∠B时，令135﹣x＝90﹣x，则方程无解， ∴此情况不成立，舍去；

②当∠BFD＝∠B时，令2x﹣45＝90﹣x， 解得x＝45， ∴∠B＝90°﹣45°＝45°；

③当∠BFD＝∠BDF时，令2x﹣45＝135﹣x， 解得x＝60， ∴∠B＝90°﹣60°＝30°， 综上所述，若△BDF中也有两个内角相等，则∠B的度数可能为45°或30°． 25．解：（1）∵P，Q关于OA对称， ∴OA垂直平分线段PQ， ∴MQ＝MP＝4， ∵MN＝5， ∴QN＝MN﹣MQ＝5﹣4＝1． （2）∵P，R关于OB对称， ∴OB垂直平分线段PR， ∴NR＝NP＝4， ∴QR＝QN+NR＝1+4＝5． 26．解：（1）∵∠ACB＝70°， ∴∠ABC+∠BAC＝180°﹣70°＝110°， ∵△ABC的角平分线AE，BF交于O点， ∴，∴∠ABO+∠BAO＝（∠ABC+∠ACB）＝55°， ∴∠AOB＝180°﹣（∠ABO+∠BAO）＝125°， 故答案为：125°；

（2）过O作OD⊥BC于D，OG⊥AB于G，OH⊥AC于H， ∵AE平分∠BAC，BF平分∠ABC， ∴OG＝OH，OG＝OD， ∴OD＝OH， ∴点O在∠ACB的角平分线上． （3）连接OC， 在Rt△OED与Rt△OFH中， ∴Rt△OED≌Rt△OFH，（HL）， ∴∠EOD＝∠FOH， ∴∠DOH＝∠EOF＝180°﹣∠ACB， ∵AE、BF是角平分线， ∴∠AOB＝90°+∠ACB， 即90°+∠ACB＝180°﹣∠ACB， ∴∠ACB＝60°；

27．解：（1）如图，△A＇B＇C＇即为所求；

（2）△ABC的面积为：3×2＝3；

（3）因为点A关于MN的对称点为A′，连接A′C交直线MN于点P，此时△PAC周长最小． 所以点P即为所求． 28．解：（1）如图1中，连接BB′． 由翻折的性质可知，∠DBE＝∠DB′E＝80°， ∵∠ADB′＝∠DBB′+∠DB′B＝125°， ∴∠EBB′+∠EB′B＝160°﹣125°＝35°， ∴∠CEB′＝∠EBB′+∠EB′B＝35°． （2）结论：∠CEB′＝∠ADB′+20°． 理由：如图2中， ∵∠ADB′+∠BEB′＝360°﹣2×（180°﹣80°）， ∴∠ADB′+180°﹣∠CEB′＝160°， ∴∠CEB′＝∠ADB′+20°． （3）如图1﹣1中，当点D在线段AB上时，结论：∠CB′E+80°＝∠ADB′ 理由：连接CB′． ∵CB′∥AB， ∴∠ADB′＝∠CB′D， 由翻折可知，∠B＝∠DB′E＝80°， ∴∠CB′E+80°＝∠CB′D＝∠ADB′． 如图2中，当点D在AB的延长线上时，结论：∠CB′E+∠ADB′＝80°． 理由：连接CB′． ∵CB′∥AD， ∴∠ADB′+∠DB′C＝180°， ∵∠ABC＝80°， ∴∠DBE＝∠DB′E＝100°， ∴∠CB′E+100°+∠ADB′＝180°， ∴∠CB′E+∠ADB′＝80°． 综上所述，∠CB＇E与∠ADB＇的数量关系为∠CB′E+80°＝∠ADB′或∠CB′E+∠ADB′＝80°． 故答案为：∠CB′E+80°＝∠ADB′或∠CB′E+∠ADB′＝80°

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