彩虹的数学物理解释

摘 要 雨后的天空中经常会出现色彩鲜艳的彩虹，它的形成曾使人们感到困扰。从遥远的殷商时代开始，我国就出现了虹的象形文字，之后的各个朝代，都有对彩虹的描述，包括彩虹的产生、彩虹的位置以及人造彩虹的出现。西方对于彩虹的研究从亚里士多德开始，历经费马、笛卡尔、牛顿等人，通过理论的研究以及实验的探索大致上解决了有关彩虹的一些问题，包括彩虹产生的机理以及彩虹的颜色。随着时代的发展，人们对于彩虹的认识也越来越深刻，彩虹对于人们来说也不再神秘。本文将站在前人研究的基础上，从数学物理的角度出发，通过几何光学，包括费马原理、光的反射定律、光的折射定律以及最小偏向角来研究彩虹的形成，包括彩虹在天空出现的位置及其形状、色彩的分布、副虹的存在以及亚历山大暗带的形成。

关键词：
几何光学；
偏向角；
彩虹 ABSTRACT After raining,there are colorful rainbow in the sky,its formation has made people feel troubled.From distant Shang Dynasty,our country appeared rainbow pictographs.After various dynasties, there are descriptions of the rainbow, including the generation of rainbow, rainbow location and the appearance of the artificial rainbow .For the Western study of the rainbow from Aristotle,after Fermat, Descartes, Newton et al.They through the theoretical research and experimental exploration, it has solved some problems about the rainbow, including the mechanism of the rainbow and the color of the rainbow. With the society development,people are more and more profound understanding of the rainbow, the rainbow for people is no longer mysterious.This article will stand on the basis of previous studies,by the perspective of mathematical physics,by geometrical optics,including Fermat principle, reflection law, refraction law and minimum deviation angle to study the form of the rainbow,including the position,the shape,the color of the rainbow,and the deputy rainbow,as well as the dark band of Alexander. Key words: geometrical optics；
minimum deviation angle；
rainbow 目 录 摘要 I ABSTRACT II 目 录 III 第1章 绪论 1 1.1 问题的提出 1 1.2 前人的观察及研究 1 1.3 本文的主要内容 2 第2章 彩虹的几何光学原理 3 2.1 笛卡尔光线 3 2.2 费马原理 3 2.3 光的反射定律 4 2.4 光的折射定律 5 2.5 最小偏向角 7 第3章 彩虹的形成 11 3.1 彩虹形成的条件 11 3.2 彩虹的位置 11 3.3 彩虹的形状 13 3.4 彩虹的颜色 15 3.5 副虹的形成 16 3.6 亚历山大暗带 17 结论与展望 19 第1章 绪论 1.1 问题的提出 “天际彩虹千丈，阑干外、泻寒玉”。雨过天晴，在和太阳相对的天空中经常会出现一道色彩鲜艳的圆弧，弧色外红内紫，有时候还可以看到两道圆弧，外面的弧色与内弧颜色排布恰好相反，外紫而内红。现在的人们会不由自主地欣赏这种大自然馈赠的美景。古时候有人说那是嫦娥在空中歌舞挥舞着的彩带，也有人说那是信使Iris所铺设的连接天地的通道，然而不管是彩带还是通道，都不过是传说罢了，没有任何的科学依据，但是其充满了古人对于美好事物的向往。其实，上述的情况只是一种常见的自然界的光学现象——彩虹。

那么彩虹究竟是怎样形成的呢？为什么彩虹的弯的？为什么彩虹看上去是七色的？为什么天空会出现两道彩虹？为什么中午看不到彩虹？ 1.2 前人的观察及研究 据史料记载，早在遥远的殷商时代，我国就出现了有关虹的象形文字。东汉蔡邕在《月令章句》中这样描述彩虹：“虹见有青赤之色，常依阴云，而昼见于日衙，无云不见，太阴也不见，见辄与日相互，率以日西，见于东方。”这对彩虹的形成的条件及位置有一定的认识。唐代孔颖达在《(礼记)注疏》中写道：“若云薄漏日，日照雨滴则虹生”。沈括的《梦溪笔谈》中有写道，孙彦先云：“虹乃与中日影也，日照雨则有之”。这解释了彩虹是太阳光在水滴中折射和反射后形成的。中唐诗人张志和在他的著作——《玄真子》一书中这样描述：“背日喷乎水成霓虹之状”这就是简单的人造彩虹[1]。

亚里士多德是西方第一个试图以科学的眼光观察虹的人，他曾指出：彩虹出现在太阳离地平线较低时，而且彩虹不会出现在夏日的中午；
我们可以看到两条颜色相反但形状相似的彩虹，并且外面的那条颜色比较黯淡。然而亚里士多德并未发现一个现象，那就是两条彩虹带的之间的那片区域较为黯淡。之后公元约200年的时候，才有亚历山大注意到这个现象，因此后人就将其观察到的这种现象称为“亚历山大暗带”。此后1307年欧洲人才明白苏格兰上空的双重彩虹是由于太阳光在水珠中产生了折射和反射，这比孙彦先及沈括他们迟了几百年。法国数学家费马根据他对光的反射的研究得出了“最小时间原理”。笛卡尔在1637年以充满水的玻璃球充当大水滴来进行实验，得出水对光的折射指数，用数学证明彩虹的主虹和副虹分别是阳光在水珠内经过一个反射和两次反射后再从水珠表面折射出形成的。他精准地计算出了彩虹的偏向角，但却未能解释彩虹的颜色。直至牛顿通过三棱镜将太阳光色散之后，通过对电磁波波长的研究指出了彩虹是一道由红色到紫色的连续光谱。

1.3 本文的主要内容 在前人研究结果的基础上，本文将从数学物理的角度出发，通过几何光学，包括费马原理、光的反射定律、光的折射定律以及最小偏向角来研究彩虹的形成，包括彩虹在天空出现的位置及其形状、色彩的分布、副虹的存在以及亚历山大暗带的形成。

第2章 彩虹的几何光学原理 2.1 笛卡尔光线 本文从几何光学的原理进行解析，空中美丽的彩虹，是太阳光射入球状水珠后，经过折射，内反射，折射这一系列过程后自然形成的。

如图2.1所示，光线1射入水珠，沿着其原路返回，这条路线被称之为光轴线。当一条入射光沿着平行于光轴线的方向，从光轴线的上方平行入射水珠时，它将会从光轴线的下方射出，并产生一定的角度偏差。入射光线离光轴线越远，它从水珠下方的出射光线所生成的偏向角就越小。但是这个角度存在一个最小值θmin。只有在光线N方向入射的光线能达到这个值。其余高于入射光线N的入射光线所产生的偏向角却增大了。光线N被称为笛卡尔光线。

不难看出，一束平行的入射光线射入水珠，形成的出射光线产生偏离，变得不再平行。实际上，大多数情况是这些光线抵达我们人眼时，由于能量不够，无法引起视神经的注意。然而，当入射光线在笛卡尔光线附近（上方或下方），其产生的出射光线的偏向角大致上与笛卡尔光线所产生的偏向角相接近。换句话说就是，入射光线在在笛卡尔光线附近时，其出射光线都密集地集中于偏向角最小的笛卡尔光线的附近。我们看到的彩虹，就是由这种密集的光线形成的[2]。

2.2 费马原理 1657年法国数学家费马根据他对光的反射的研究，发现光线遇到障碍进行反射时，光线行进的路线是需时最少的路线，因此他相信自然界是按简单而又经济的方式行动的，于是提出了最小作用原理（最短时间作用原理）[3]——连结给定两点P和Q可以有许多路径，但是光线只走P、Q之间光程为极值的路线，其数学表达式为：
（2.1） 这里称为光程，根据费马原理的条件：光线只走光程为极值的路线。这里的极值能够取最小值、最大值或稳定值[4]。

根据这条原理他在1661年用微分学又导出了光的折射定律，更加坚定了对最小作用原理的信念，这是科学史上最早提出的一条“变分原理”。

接下去本文将会从费马原理出发证明光的反射定律以及光的折射定律。

2.3 光的反射定律 设A点有一光源，光线由A点入射，经镜面MN上C点后反射至B点。那么光究竟是经过怎样的路径通过C点抵达B点的呢？ 建立坐标系如图2.2：
其中A点B点是已知的，C为MN上任一点。假设光的传播速度为V，所以光线由A点经C点到达B点经历时间：
（2.2） 式中V、h1、h2及a都是已知的，那么现在的问题是当x取何值时才能使光线由A点出发到B点的时间最短。按照费马原理，光线实际路途ACB中点C（x,0）将使t取得最小值。

为了求得最短时间，求t对x的导数：
（2.3） 临界点x0满足：
（2.4） 又因为 （2.5） 所以x0是极小值点，由于所以x0是最小值点。

由临界点满足条件可得且均为锐角，即入射角等于反射角，这就是光的反射定律 2.4 光的折射定律 为了研究彩虹的形成，需要同时研究光在空气和小水珠之间的传播。假设MN是分隔两种不同介质的分界面，在第一介质的A点有一光源，光线由A点入射，经MN上C点折射至B点。

建立如图2.3坐标系：
A点B点是已知的，C为界面上的任一点。假设光在第一介质中的传播速度是V1，在第二介质中的传播速度是V2。

则在第一介质中光线经过AC所需要的时间为：
（2.6） 则在第二介质中光线经过CB所需要的时间为: （2.7） 因此，光线由A点到B点所需要的全部时间为：
（2.8） 式中V1、V2、h1、h2及a都是已知的，现在的问题是：当x取何值时能使光线从A点到B点所需的时间最短。

按照费马原理，MN上C点横坐标x将使函数 （2.9） 取最小值。

为了求得最短时间，求t对x的导数：
（2.10） 临界点x0满足：
（2.11） 又因为 （2.12） 所以x0是极小值点，由于 所以x0是最小值点。

由图2.3知，， 由临界点满足条件可得 （2.13） （2.14） 即 （2.15） 这就是光的折射定律，其中式中是比例的常数，称为第二介质对第一介质的相对折射率[5]。

当入射光线从光疏介质倾斜地射入光密介质中时，，，即折射角小于入射角。

当入射光线从光密介质倾斜地射入光疏介质中时，，，即折射角大于入射角。

2.5 最小偏向角 假设有一条随机入射光线SA射入至水珠，经过一系列的折射以及内反射等过程，构成了如图2.4所示的光路图。

图2.4 水珠中的光路图 假设最初的入射角为i，折射角为r。由于折射定律以及反射定律可以知道，在水珠内的反射反射角均为r，那么从水珠内折射进入空气时的折射角均为最初的入射角i。

如图2.4所示，从光路的几何关系中可以看出：
入射光线第一次发生折射时，第一条折射光线与光线SA之间的夹角为i-r，之后光线进行了第一次球内反射。

光线发生第二次折射的同时进行了第一次球内反射，如图2.4所示，第二条折射光线与第一条折射光线之间的夹角为i-r，所以，第二条折射光线与光线SA之间的夹角为2（i-r），记之为θ0。

如图2.4所示，光线进行第三次折射时，通过几何关系可以得知，第三条折射光线与第二条折射光线之间的夹角为π-2r，同理可得第四条折射光线与第三条折射光线之间的夹角也为π-2r。依此类推，在此之后每相邻的两条折射光线之间的夹角均为π-2r，记之为θ’。

记第三条折射光线与入射光线SA之间的夹角为θ1。

…… （k=1，2，3……）（2.16） 对上式求θk关于i的导数，则：
（2.17） 这里记空气中的n为1，则：
（2.18） 代入（2.17）：
（2.19） 令，则，此时i和r为极值，分别记之为I和R。

因为：
（2.20） 平方后求解: （2.21） 对于（2.19）式求导：
（2.22） 对于水珠中,时，。

因此θk存在最小值，即存在最小偏向角θmin：
（2.23） 在研究笛卡尔光线时取k=1，n=从几何结构得到偏向角公式：
（2.24） 图2.5 研究笛卡尔光线的情况 K=1,n=时只是偏向角的一种特殊情况，满足一般性。因为，所以当时，，即靠近I入射角i，其偏离都集中在附近，这样入射角在I附近的那些入射光产生的光线便显得最亮，这就是我们看到的彩虹。其最低点取值约为i=59.39°，θ=137.98°。其形成的虹角为42.02°。

第3章 彩虹的形成 3.1 彩虹形成的条件 彩虹是光学中的一种自然现象，是太阳光经过水珠后发生一系列的折射和反射后生成的。因为水珠对于不同颜色的光有着不同的折射率，使得太阳光产生了色散。雨过天晴，空气中充满了细小的雨滴，这些雨滴可以看成球状水珠，如果太阳光以一定的角度射入水珠，将会在在水珠内会发生一系列的折射和反射过程，然后从水珠内射出，因为不同颜色的光的折射率不同，于是太阳光便在色散的作用下生成了各种其他颜色的光，这就是彩虹。以上的彩虹是太阳光在水珠内产生两次折射和一次反射形成的，假若太阳光在水珠内产生了两次折射和两次反射，然后从水珠射出，这样形成的彩色光带我们称之为副虹，也就是霓虹。

彩虹并不是一种常见的光学现象，只有满足一定的气象条件时，它才会出现在我们的视线之中。雨后晴朗的天空中，空气中雨滴多尘少，太阳光以一定的角度射入空气中的雨滴，观察者背对着太阳以一定的角度仰视天空，才能够观察到美丽的彩虹。彩虹是阳光通过雨滴的反射和折射形成的，因为雨滴是不间断下落的，总有后面的雨滴补到之前雨滴的位置，产生相同效果的折射与反射，由于人眼的视觉暂留，前一个雨滴产生的视觉效果还没消散又有后面的雨滴补上，所以我们看到的彩虹是连续不断的[6]。彩虹的形成后的模样与空气中雨滴的大小息息相关。雨滴愈大，彩虹的颜色便显得愈发明亮，彩虹却显得愈加狭窄；
反之，雨滴愈小，彩虹的颜色便显得愈发晦暗，彩虹却显得愈加宽阔。但当雨滴小到支持不了它对太阳光进行色散、反射、折射这一系列过程时，彩虹便消散不可见了。又因为彩虹是“日照雨”形成的，所以它总是存在与太阳的对面。观察者只有背对太阳才能观察到美丽的彩虹！ 3.2 彩虹的位置 如第二章最小偏向角的计算，最理想的情况是：进入水珠后的太阳光经过一系列折射以及内反射过程后从水珠内射出，只要满足在最小偏向角处即可形成彩虹。这样我们便能看到众多的彩虹。但是，一般来说实际情况是人们最多只能观察到两条颜色排布相反的彩虹：一条是经过两次折射和一次内反射后形生成的彩虹，称之为主虹；
另一条是经过两次折射和两次内反射后生成的彩虹，也就是副虹[7]——俗称霓虹。这里本文先来讨论主虹的位置。

根据第二章公式（2.21）和公式（2.23），主虹的k=1，现在已知水对红色光的折射率约为1.332，对紫色光的折射率约为1.341，对太阳光的折射率约为1.333，代入计算得表3.1 表3.1主虹形成过程中不同光产生的角度 光的类别 折射率 I R Θmin 与光轴夹角 红光 1.332 59.47° 40.29° 137.78° 42.22° 紫光 1.341 58.95° 39.71° 139.06° 40.94° 太阳光 4/3 59.39° 40.20° 137.98° 42.02° 可见，对于主虹来说，出射的光线集中于与光轴线夹角为41°到42°。一般取水对太阳光的折射率为，此时出射光线与主光轴之间的夹角为42°。

图3.1 对日点位置 按照观察者所处的位置，将正对太阳的反方向的所在记为对日点，如图3.1所示，形成彩虹的太阳光的入射光线与出射光线之间夹角为上文计算所得的42°，人眼看到的光线与对日点之间的夹角也为42°，于是，只要从与对日点方向夹角为42°的任何一个方向观察，都能观察到美丽的彩虹。因此，我们所说的彩虹就是以对日点和人眼连线组成的一个角半径为42°的圆锥曲面[8]。也就是说，只要是这个圆锥曲面上的任何一滴雨滴，都是形成主虹的重要组成部分。

如图3.1所示，彩虹一般是在太阳在地平线以上的时候被观察到的，那么其相应的对日点应该在地平线以下。从图3.1中也可以看出，太阳越高，彩虹越低，太阳越低，彩虹越高。这也解释了为什么中午很难看到彩虹，确实实际观察到的情况就是这样的。以我国为例，上午九点到下午三点之间很少由彩虹出现，因为此时太阳所处地理位置过高，一般来说，早晨和傍晚更容易观察到美丽的彩虹。若太阳光与地面平行，则观察彩虹的仰角约为42°。以相同的视角射向眼睛的光束，必然在一个圆锥面上[9]。因而，假设把人眼作为顶点，做一条中轴线，其平行于太阳光的方向，且经过人眼。所有与中轴线呈42°夹角的出射光线将围绕中轴线形成一个圆锥面。假使太阳光与地面不平行，如图3.1所示，围绕中轴线产生的圆锥的下部分隐藏在地势下方。

所以，我们一般只能看到彩虹的一部分圆弧。但是，我们在高山或者飞机上时，就有可能看到完整的圆形彩虹[10]。

图3.2 圆形彩虹 3.3 彩虹的形状 假使将人眼看成一个圆形镜头，一大束分散的光线照过来，人眼所能捕捉到的光线其实仅仅只有照到镜头上的极少的部分。如果要观察到全部的光线，不能平行照射，要将这些光线汇聚到一起。假设人眼为圆锥的顶点，彩虹作为圆锥的底面，我们要看到彩虹，彩虹的出射光线便要沿着圆锥的侧面汇聚到人眼（如图3.3所示）。

从图中3.3中也可以看出，用长度去衡量彩虹是没有意义的。这时候就引入了角半径这个指标，它是用来形容彩虹的最恰当的参数。这里能够获得一个奇妙的现象——两个观察者在相邻的地点观察彩虹，然而他们观察到的彩虹却是不一样的，也就是说，每个人都有“自己的彩虹”[11]。

图3.3 人眼观察的彩虹 因为彩虹是太阳光通过雨点折射一反射一折射过来的光线产生的，所以我们看到的彩虹实际上是由那些与我们形成虹角的雨点组成的。

这里假设人眼的所处的位置为坐标原点，建立如图3.4所示的坐标系：
图3.4 彩虹形状的数学解释 xoy平面与太阳光线方向平行。设B(x,b,z)为彩虹上的任意一点，A（x,o,z）为经过B的太阳光线与xoz平面的交点，连接OA,OB,AB。则OAB为直角三角形，其中∠A=90°∠ABO即为前文所求的入射光线与光轴的夹角42°，记 则：
（3.1） 所以彩虹的方程是：
（3.2） 从彩虹的方程表达式（3.2）中可以直观的看出，彩虹就是一个圆形的结构。

3.4 彩虹的颜色 现在流行的说法是彩虹是由赤橙红绿青蓝紫这七种颜色构成的，其实不然，彩虹是经过水滴折射后产生的连续可见光谱。彩虹就是太阳光色散后产生的现象，雨后的天空中的充满了太阳光色散的介质——雨滴。这些雨滴将太阳光色散成人眼可以观察到的可见光——波长在400 纳米到700 纳米之间的电磁波，但是这些可见光只是占据了整个电磁波谱的极小的一部分[12]。

图3.5 可见光光谱 由于不同颜色的光的波长不同，导致水对于不同颜色的光的折射率也不尽相同。相对于水对红色光的折射率而言，水对于紫色光的折射率要显得更大一些。对于主虹而言，不同颜色的光经过水珠折射后与光轴形成的夹角也不同，其中红光为42.22°，紫光为40.94°，因此，红光在上，紫光在下。

3.5 副虹的形成 前文分析的彩虹都是主虹，在主虹的上方有时候还可以观察到副虹，也就是常说的霓虹。事实上，副虹和主虹是一起存在的，只不过由于副虹的显得更加黯淡，人们不太容易注意到。生成副虹的机理相对于主虹来说要显得更为复杂。主虹是太阳光在水珠内经过两次折射和一次内反射的产物，而副虹则比主虹多了一次内反射的过程，这也导致了霓的颜色与虹的颜色恰好顺序相反。如图3.6所示，主虹的入射光线从A点出发出现水珠的上半部分，副虹的入射光线从F点出发出现在水珠的下半部分。实际情况是，光线从水珠的上半部分射入时也同样形成了副虹，只是光线在水珠内经过两次折射和两次内反射后形成的出射光线飞向了空中，并没有落回地面，所以我们能够在空中观察到这样的副虹。光的折射和反射都要消耗能量，相较于主虹只经过了一次内反射而言，经过两次内反射后形成的副虹颜色自然会显得黯淡[13]。因此，虹常有而霓不常有，就是这个缘故。

图3.6 主虹副虹形成示意图 根据第二章公式（2.21）和公式（2.23），副虹的k=2，可知水对红色光的折射率约为1.332，对紫色光的折射率约为1.341，对太阳光的折射率约为1.333。代入计算得表3.2 表3.2副虹形成过程中不同光产生的角度 光的类别 折射率 I R Θmin 与光轴夹角 红光 1.332 71.87° 45.52° 230.62° 50.62° 紫光 1.341 71.58° 45.03° 232.98° 52.98° 太阳光 4/3 71.83° 45.45° 230.96° 50.96° 可见，对于副虹来说，出射的光线集中于与光轴线夹角为50°到53°。一般取水对太阳光的折射率为，此时出 射光线与主光轴间的夹角为50.96°。霓的夹角大于虹的夹角，因此，霓在虹的上方。在欣赏霓的时候，视角选择与太阳光入射方向夹角为50.62°到52.98°即可。这里与主虹不一样的是，霓的颜色排布紫光在上，红光在下。

通过对表3.1及表3.2的观察，还可以发现，对于主虹而言，红光紫光之间的角度之差为1.28°，而对于副虹而言，红光紫光之间的角度之差为2.36°，这也说明副虹相对于主虹而言显得更宽！ 图3.7 主虹与副虹 3.6 亚历山大暗带 亚历山大暗带是指一种和彩虹结合在一起的光学现象，简单的说就是两条彩虹中间的区域亮度相较于外部而言显得更为黯淡。这一现象是雅典哲学家亚历山大在公元约200年率先发现，因此后人把这条暗带称之为“亚历山大暗带”。

虹的最小偏向角约为138°，随着偏向角的增大，出射光线与光轴之间的夹角减小，即出射光线在虹的下方，偏离了的光线的照亮了虹的内测。霓的最小偏向角约为231°，随着偏向角的增大，出射光线与光轴之间的夹角增大，即出射光线在霓的上方，偏离了的光线照亮了霓的外侧。在霓和虹之间的天空中那些未被照亮的部分就是上文所述的“亚历山大暗带”。

到这里，也就可以解释亚历山大暗带的形成：形成虹的光线集中于虹线及其下方，形成霓的光线集中于霓线及其上方，在霓和虹之间的光线达不到观察者的眼中，因此中间区域相对于两侧显得更加黯淡。

图3.8 亚历山大暗带 结论与展望 本毕业论文站在前人研究的基础上，通过对几何光学原理进行分析，根据费马原理推导了光的反射定律以及光的折射定律，以此为基础证明了最小偏向角的存在，建立了计算最小偏向角的公式。通过对这些基本原理、定律的推导证明进一步阐述了彩虹形成的过程，包括彩虹在天空出现的位置及其形状、色彩的分布、副虹以及亚历山大暗带的形成过程。

但是本毕业论文也只是单纯地从理论角度出发分析了彩虹的成因，并没有深入研究针对彩虹现象所衍生出来的其他情况。相信随着时代的发展、理论知识的不断更新以及人们对于彩虹现象研究的进一步深入，越来越多的关于彩虹的奥秘将会呈现在人们面前。以后的研究的目标也不会单纯地放在研究彩虹本身上，而将会着力于彩虹现象所衍生出来的各类科学。

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